konvergente Folgen und vollständiger Körper

01.07.2010, 18:40

kleineseegurke

konvergente Folgen und vollständiger Körper

Meine Frage:
Hallo ihr,

warum sind monotone beschränkte Folgen in einem vollständigen Körper konvergent? Und wäre eine solche Folge in einem unvollständigen Körper nicht konvergent?

Meine Ideen:
Das Vollständigkeitsaxiom, besagt ja, dass ein Körper dann vollständig ist, wenn jede nicht leere nach oben beschränkte Teilmenge ein Supremum besitzt. Wie kann man davon auf die Konvergenz von Folgen schließen?

01.07.2010, 18:51

tmo

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Betrachte zu einer monoton steigenden, beschränkten Folge mal $\begin{eqnarray*} a := \sup_{n \in \mathbb N} a_n \end{eqnarray*}$ und zeige, dass dies der Grenzwert der Folge ist.

Zu der anderen Frage: In einem unvollständigen Körper kann man Folgen finden, die monoton und beschränkt sind, aber nicht konvergent.

01.07.2010, 18:58

kleineseegurke

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Soweit so gut, aber ich verstehe noch nicht, wie man vom Vollständigkeitsaxiom auf die Konvergenz von Folgen schließen kann?

Oder warum ich in R keine monotone beschränkte Folge finden kann, die nicht konvergiert?

01.07.2010, 19:14

Mulder

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RE: konvergente Folgen und vollständiger Körper
Lies dazu vielleicht mal bei Wikipedia die ersten Abschnitte. Dort sind einige illustrierende Beispieleaufgeführt.

Wikipedia: Vollständiger Raum

Gerade das in Bezug auf die rationalen Zahlen (also die Menge $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ ) dürfte dir weiter helfen.

01.07.2010, 19:31

Iorek

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Zitat:

Original von kleineseegurke
Oder warum ich in IR keine monotone beschränkte Folge finden kann, die nicht konvergiert?

Das mag daran liegen, dass der Körper der reellen Zahlen vollständig ist.

Betrachte einmal $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ , und dazu die Folge $\begin{eqnarray*} a_1=1,~a_{n+1}=\frac{a_n}2+\frac 1{a_n} \end{eqnarray*}$ . Über $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ ist diese Folge konvergent mit $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n\to\infty}a_n=\sqrt 2 \end{eqnarray*}$ , über $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ konvergiert sie offensichtlich nicht.

Edit: Huch? Wie kommt der Beitrag von Mulder denn dazwischen? Der war bei mir eben noch nicht da, und ich hab keine 15 Minuten für diese Antwort gebraucht verwirrt

01.07.2010, 20:36

kleineseegurkeee

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Dankeschön smile

01.07.2010, 20:38

Mulder

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Zitat:

Original von Iorek
Edit: Huch? Wie kommt der Beitrag von Mulder denn dazwischen? Der war bei mir eben noch nicht da, und ich hab keine 15 Minuten für diese Antwort gebraucht

Sag's nicht weiter, ich hab das Forum gehackt. Augenzwinkern

01.07.2010, 21:40

Gastmathematiker

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RE: konvergente Folgen und vollständiger Körper

Zitat:

Original von kleineseegurke
Das Vollständigkeitsaxiom, besagt ja, dass ein Körper dann vollständig ist, wenn jede nicht leere nach oben beschränkte Teilmenge ein Supremum besitzt. Wie kann man davon auf die Konvergenz von Folgen schließen?

Wenn du vollständigkeit so definierst, so ist sowieso R der einzige Körper, der das erfüllt (bis auf Isomorphie).

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