aufstellen und lösen einer Dgl

01.07.2010, 19:12

analysisisthedevil

Auf diesen Beitrag antworten »

aufstellen und lösen einer Dgl

ohje,ich dachte ich wär bei der letzen aufgabe auf das schlimmste gestossen.

jetz wirds noch schlimmer,zumindest für mich...

ok folgendes:

Beim natürlichen Zerfall instabiler (radioaktiver) Isotope ist der Betrag der Geschwindigkeit N (t)
des Zerfalls (Änderung der Anzahl N(t) der in einem gegebenen Volumen zum Zeitpunkt t vorhandenen
Kerne pro Zeiteinheit) in jedem Zeitpunkt t direkt proportional zur Anzahl N(t) der zu
diesem Zeitpunkt vorhandenen Kerne (Proportionalitätsfaktor $\begin{eqnarray*} \lambda > 0 \end{eqnarray*}$ (Zerfallskonstante)).

a)stellen sie eine Differentialgleichung zur bestimmung von N(t) auf und lösen sie diese für die anfangsbedingung $\begin{eqnarray*} N(0)=N_{0} \end{eqnarray*}$

b)Bestimmen sie den Zeitpunkt $\begin{eqnarray*} t_{\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$ in dem $\begin{eqnarray*} N(0)=N_{0} \end{eqnarray*}$ zur Hälfte zerfallen is (Halbwertszeit)

ich hab echt keinen schimmer was ich machen soll.klar,ne dgl erstellen und lösen,aber wie ich das machen soll is mir ein rätsel.

01.07.2010, 19:38

stereo

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: aufstellen und lösen einer Dgl

Zitat:

Original von analysisisthedevil
Beim natürlichen Zerfall instabiler (radioaktiver) Isotope ist der Betrag der Geschwindigkeit N (t)
des Zerfalls (Änderung der Anzahl N(t) der in einem gegebenen Volumen zum Zeitpunkt t vorhandenen
Kerne pro Zeiteinheit) in jedem Zeitpunkt t direkt proportional zur Anzahl N(t) der zu
diesem Zeitpunkt vorhandenen Kerne (Proportionalitätsfaktor $\begin{eqnarray*} \lambda > 0 \end{eqnarray*}$ (Zerfallskonstante)).

Das heißt soviel wie:

$\begin{eqnarray*} \dot{N} \propto N \end{eqnarray*}$

Dabei ist $\begin{eqnarray*} \dot{N} \end{eqnarray*}$ die Geschwindigkeit, das bedeutet meist die Ableitung nach der Zeit. Und diese ist proportional zu N. Ich hoffe du weißt dass N eine Funktion von t ist - ansonsten hätte das kein Sinn.

Dein Proportionalitätsfaktor ist nun $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ . Jetzt hast du eine gewöhnliche DGL 1. Ordung, welche leicht zu lösen ist.

01.07.2010, 20:07

analysisisthedevil

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: aufstellen und lösen einer Dgl

Zitat:

Original von stereo

Das heißt soviel wie:

$\begin{eqnarray*} \dot{N} \propto N \end{eqnarray*}$

Dabei ist $\begin{eqnarray*} \dot{N} \end{eqnarray*}$ die Geschwindigkeit, das bedeutet meist die Ableitung nach der Zeit. Und diese ist proportional zu N. Ich hoffe du weißt dass N eine Funktion von t ist - ansonsten hätte das kein Sinn.

Dein Proportionalitätsfaktor ist nun $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ . Jetzt hast du eine gewöhnliche DGL 1. Ordung, welche leicht zu lösen ist.

müsste dann die gleichung nicht,

$\begin{eqnarray*} N(t)=\lambda\cdot t \end{eqnarray*}$

heißen?

01.07.2010, 21:15

stereo

Auf diesen Beitrag antworten »

Nein. Das ist vollkommen falsch. Deine Funktion hängt auch nichtmal von der Anzahl der Teilchen ab, welche zum Zeitpunkt t existieren.

Du musst diese DGL lösen:

$\begin{eqnarray*} \dot{N} = N'(t) = \lambda \cdot N \end{eqnarray*}$

Wenn $\begin{eqnarray*} N(t) = \lambda t \end{eqnarray*}$ eine Lösung wäre, dann müsste sie ja auch die DGL Lösen - das tut sie aber nicht.

01.07.2010, 22:00

analysisisthedevil

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von stereo
Nein. Das ist vollkommen falsch. Deine Funktion hängt auch nichtmal von der Anzahl der Teilchen ab, welche zum Zeitpunkt t existieren.

Du musst diese DGL lösen:

$\begin{eqnarray*} \dot{N} = N'(t) = \lambda \cdot N \end{eqnarray*}$

Wenn $\begin{eqnarray*} N(t) = \lambda t \end{eqnarray*}$ eine Lösung wäre, dann müsste sie ja auch die DGL Lösen - das tut sie aber nicht.

$\begin{eqnarray*} \frac{dN(t)}{d\lambda} =\lambda \cdot N(t) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{dN(t)}{N(t)} =\lambda \cdot d\lambda \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ln({N(t)} ) =\frac{\lambda^2}{2}+c \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} N(t) =e^{\frac {\lambda^2}{2}+c } \end{eqnarray*}$

???is das richtig???

01.07.2010, 22:04

stereo

Auf diesen Beitrag antworten »

Also das Lambda ist eine Konstante. An deinen Ergebnis sieht man, dass du das Problem nicht verstanden hast. Denn dein N(t) hängt gar nicht von t ab. Was ist da wohl passiert?

Folgendes:

$\begin{eqnarray*} N'(t) = \frac{\dd N}{\dd t} \end{eqnarray*}$

Du betrachtest die Population im Zusammenhang mit der Zeit, weil die wissen willst wenn du eine Anfangspopulation hast - wieviel du noch nach einer Zeit t an Bakterien oder Teilchen hast.

Dein formales Vorgehen ist aber soweit richtig.

Anzeige

01.07.2010, 22:14

analysisisthedevil

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von stereo
Also das Lambda ist eine Konstante. An deinen Ergebnis sieht man, dass du das Problem nicht verstanden hast. Denn dein N(t) hängt gar nicht von t ab. Was ist da wohl passiert?

Folgendes:

$\begin{eqnarray*} N'(t) = \frac{\dd N}{\dd t} \end{eqnarray*}$

Du betrachtest die Population im Zusammenhang mit der Zeit, weil die wissen willst wenn du eine Anfangspopulation hast - wieviel du noch nach einer Zeit t an Bakterien oder Teilchen hast.

Dein formales Vorgehen ist aber soweit richtig.

$\begin{eqnarray*} \frac{\dd N}{\dd t}=\lambda \cdot N \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{\dd N}{N}=\lambda\dd t \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} ln(N)=\lambda\cdot t +c \end{eqnarray*}$

01.07.2010, 22:23

stereo

Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt soweit, aber es geht noch weiter.

01.07.2010, 22:26

analysisisthedevil

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} \frac{\dd N}{\dd t}=\lambda \cdot N \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{\dd N}{N}=\lambda\dd t \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} ln(N)=\lambda\cdot t +c \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} N=e^{\lambda\cdot t +c} \end{eqnarray*}$

01.07.2010, 22:30

stereo

Auf diesen Beitrag antworten »

Da ich jetzt vom Laptop weggehe spendiere ich dir den letzten Schritt, da es nach wie vor noch weiter geht.

$\begin{eqnarray*} N(t) = e^{\lambda t + c} = c_0 e^{lambda t} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} N(0) = N_0 = c_0 \quad \Rightarrow \quad N(t)=N_0 e^{\lambda t} \end{eqnarray*}$

01.07.2010, 22:36

analysisisthedevil

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von stereo
Da ich jetzt vom Laptop weggehe spendiere ich dir den letzten Schritt, da es nach wie vor noch weiter geht.

$\begin{eqnarray*} N(t) = e^{\lambda t + c} = c_0 e^{\lambda t} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} N(0) = N_0 = c_0 \quad \Rightarrow \quad N(t)=N_0 e^{\lambda t} \end{eqnarray*}$

nun,ich habe ein problem jetzt,die offizielle lösung die mir vorliegt sieht nämlich ganz anders aus
und zwar so:
$\begin{eqnarray*} N(t)=-\lambda\cdot N(t) \end{eqnarray*}$

01.07.2010, 22:50

analysisisthedevil

Auf diesen Beitrag antworten »

falls zufällig jemand anderes zu wenig zu tun hat,is er herzlich eingeladen mich aufzuklären Augenzwinkern

Augenzwinkern

01.07.2010, 23:43

system-agent

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von analysisisthedevil
nun,ich habe ein problem jetzt,die offizielle lösung die mir vorliegt sieht nämlich ganz anders aus
und zwar so:
$\begin{eqnarray*} N(t)=-\lambda\cdot N(t) \end{eqnarray*}$

Ohne jetzt alles gelesen zu haben, da steht nicht zufällig $\begin{eqnarray*} \dot{N}(t)=-\lambda N(t) \end{eqnarray*}$ ?

01.07.2010, 23:59

analysisisthedevil

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von system-agent

Zitat:

Original von analysisisthedevil
nun,ich habe ein problem jetzt,die offizielle lösung die mir vorliegt sieht nämlich ganz anders aus
und zwar so:
$\begin{eqnarray*} N(t)=-\lambda\cdot N(t) \end{eqnarray*}$

Ohne jetzt alles gelesen zu haben, da steht nicht zufällig $\begin{eqnarray*} \dot{N}(t)=-\lambda N(t) \end{eqnarray*}$ ?

es steht so da,wie ich es gepostet habe.is mir zwar schon paar mal passiert das ich noch drauf bestanden habe recht zu haben und es doch falsch war,aber diesmal stimmts Big Laugh

Big Laugh

02.07.2010, 00:03

system-agent

Auf diesen Beitrag antworten »

Dann erzähle mal von was das die Lösung sein soll.

02.07.2010, 00:23

analysisisthedevil

Auf diesen Beitrag antworten »

da steht

differentialgleichung: $\begin{eqnarray*} N(t)=-\lambda\cdot N(t) \end{eqnarray*}$

na gut,das is dann wohl nich die lösung sondern die aufgestellte gleichung....nichts desto trotz soeht auch die anders aus als meine....

02.07.2010, 00:39

system-agent

Auf diesen Beitrag antworten »

Ganz sicher sieht die anders aus, denn das ist so auch keine DGL.
Da fehlt ein Ableitungssymbol, also es muss
$\begin{eqnarray*} \dot{N}(t)=-\lambda N(t) \end{eqnarray*}$
oder
$\begin{eqnarray*} N'(t)=-\lambda N(t) \end{eqnarray*}$
oder
$\begin{eqnarray*} \frac{\dd N}{\dd t}(t)=-\lambda N(t) \end{eqnarray*}$
oder ...
heissen.

Aber das ist nichts neues. stereo hat einfach das Vorzeichen vergessen. Auch wenn ich mir persönlich nicht wirklich erklären kann woher dieses kommt.

Wie dem auch sei, die Lösung dieser DGL steht bereits in diesem Thread.

02.07.2010, 00:51

analysisisthedevil

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von system-agent
Ganz sicher sieht die anders aus, denn das ist so auch keine DGL.
Da fehlt ein Ableitungssymbol, also es muss
$\begin{eqnarray*} \dot{N}(t)=-\lambda N(t) \end{eqnarray*}$
oder
$\begin{eqnarray*} N'(t)=-\lambda N(t) \end{eqnarray*}$
oder
$\begin{eqnarray*} \frac{\dd N}{\dd t}(t)=-\lambda N(t) \end{eqnarray*}$
oder ...
heissen.

Aber das ist nichts neues. stereo hat einfach das Vorzeichen vergessen. Auch wenn ich mir persönlich nicht wirklich erklären kann woher dieses kommt.

Wie dem auch sei, die Lösung dieser DGL steht bereits in diesem Thread.

ohje,jetz hab ich sogar den doofen punkt gefunden....aber der war im ernst 20 mal so klein wie ein ,mit der tastatur getipptes i-tüpfelchen.....

jetz bleibt nur noch das rätsel des vorzeichens

02.07.2010, 01:03

analysisisthedevil

Auf diesen Beitrag antworten »

könnte es denn sein,das vor das lambda ein minus muss,da ja nach dem zerfall gefragt wird?
wenn da kein minus stehen würde,würde ja genau das gegenteil des zerfalls beschrieben werden...denke ich wenigstens.

02.07.2010, 01:49

system-agent

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, du hast recht. $\begin{eqnarray*} N(t) \end{eqnarray*}$ ist die Anzahl der Kerne zum Zeitpunkt $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ . Gibt es viele Kerne, dann muss es auch viel Änderung geben und zwar derart, dass die Anzahl abnimmt.

Nunja, wie schon gesagt wurde die Lösung dieser DGL schon hier erwähnt [bis auf ein Vorzeichen].

Was die zweite Aufgabe angeht:
Du weisst, dass $\begin{eqnarray*} N(t_{1/2})=\frac{1}{2}N_0 \end{eqnarray*}$ ist. Nun setze links die Gleichung ein und löse nach $\begin{eqnarray*} t_{1/2} \end{eqnarray*}$ .

02.07.2010, 04:44

analysisisthedevil

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von stereo
Da ich jetzt vom Laptop weggehe spendiere ich dir den letzten Schritt, da es nach wie vor noch weiter geht.

$\begin{eqnarray*} N(t) = e^{\lambda t + c} = c_0 e^{lambda t} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} N(0) = N_0 = c_0 \quad \Rightarrow \quad N(t)=N_0 e^{\lambda t} \end{eqnarray*}$

was da mit der konstante geschehen is,versteh ich nich so recht

02.07.2010, 10:04

stereo

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, da kommt eigentlich ein Minus beim Zerfall hin. Aber das $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ kann ja auch negativ sein und schon stimmt alles smile

smile

Mit der Konstanten ist folgendes passiert:

$\begin{eqnarray*} a^{b+c}=a^b \cdot a^c \end{eqnarray*}$

Du kannst dir ja mal überlegen warum $\begin{eqnarray*} e^c \end{eqnarray*}$ zu einer Konstanten wird, welche auch negativ werden kann.

Tip: Beim integrieren hast du etwas nicht beachtet.

Ist dir die 2. klar?

02.07.2010, 11:46

analysisisthedevil

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von stereo
Ja, da kommt eigentlich ein Minus beim Zerfall hin. Aber das $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ kann ja auch negativ sein und schon stimmt alles smile

smile

Mit der Konstanten ist folgendes passiert:

$\begin{eqnarray*} a^{b+c}=a^b \cdot a^c \end{eqnarray*}$

Du kannst dir ja mal überlegen warum $\begin{eqnarray*} e^c \end{eqnarray*}$ zu einer Konstanten wird, welche auch negativ werden kann.

Tip: Beim integrieren hast du etwas nicht beachtet.

Ist dir die 2. klar?

ne das mein ich nicht,das hab ich verstanden.ich meine,wieso aus $\begin{eqnarray*} e^c \end{eqnarray*}$ auf einmal $\begin{eqnarray*} c_{0} \end{eqnarray*}$ wird.
sorry hab ich nich genau ausgedrückt.die zwei muss ich nochma anschauen,ich glaube aber das bekomm ich hin irgendwie

02.07.2010, 13:58

stereo

Auf diesen Beitrag antworten »

Diese Frage hab ich dir doch beantwortet.

$\begin{eqnarray*} N(t)=e^{\lambda t + c} = e^{\lambda t} \cdot e^{c} \quad \text{mit } e^c = \text{ konstant} = c_0 \end{eqnarray*}$

Dabei ist aber die e-Funktion immer positiv und daraus folgt $\begin{eqnarray*} c_0 \geq 0 \end{eqnarray*}$ .

Im allgemeinen ist aber bei der DGL $\begin{eqnarray*} c_0 \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ . Du kannst dir ja mal Gedanken drüber machen, woher das kommt. Den Tip dafür habe ich dir gegeben. Eine Stammfunktion ist nicht ganz richtig, in diesen Beispiel stimmt das aber, da N(t) > 0.

Also kurze Zusammenfassung:

Die neue Konstante $\begin{eqnarray*} c_0 \end{eqnarray*}$ ist nur eine andere Bezeichnung für die Konstante $\begin{eqnarray*} e^c \end{eqnarray*}$

02.07.2010, 23:55

analysisisthedevil

Auf diesen Beitrag antworten »

ich versteh nich so ganz was ich genau bei der b) machen muss.
ich vermute aber,ich muss die im a teil bestimmte unbestimmte lösung so auflösen das ich $\begin{eqnarray*} t_{1/2} \end{eqnarray*}$ bekomme.

jetz weis ich nich ,ob ich dafür $\begin{eqnarray*} N(t)=e^{-\lambda\cdot t}c_{o} \end{eqnarray*}$

oder $\begin{eqnarray*} N(t)=e^{-\lambda\cdot t} N(t) \end{eqnarray*}$ benutzen soll.

03.07.2010, 00:54

stereo

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von analysisisthedevil
ich versteh nich so ganz was ich genau bei der b) machen muss.
ich vermute aber,ich muss die im a teil bestimmte unbestimmte lösung so auflösen das ich $\begin{eqnarray*} t_{1/2} \end{eqnarray*}$ bekomme.

jetz weis ich nich ,ob ich dafür $\begin{eqnarray*} N(t)=e^{-\lambda\cdot t}c_{o} \end{eqnarray*}$

oder $\begin{eqnarray*} N(t)=e^{-\lambda\cdot t} N(t) \end{eqnarray*}$ benutzen soll.

Ok, ich zeig dir deine Fehler:

$\begin{eqnarray*} N(t)=e^{-\lambda\cdot t} N(t) \quad | : N(t) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1 = e^{-\lambda\cdot t} \quad \lambda = 0 \end{eqnarray*}$

Fazit: Hier ist ein Fehler.

$\begin{eqnarray*} N(t)=e^{-\lambda\cdot t}c_{o} \end{eqnarray*}$

Das $\begin{eqnarray*} c_0 \end{eqnarray*}$ hab ich dir bestimmt, da du ein Anfangswettproblem (AWP) gegeben hast. Dann hast du ein Zerfallsgesetz. Damit bestimmst du deine Halbwertszeit.

Nämlich so: einfach einsetzen und nach t auflösen - das hat dir auch schon jemand geschrieben

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »