wieviele Kreise passen in einen Kreis ?

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lenar Auf diesen Beitrag antworten »
wieviele Kreise passen in einen Kreis ?
Meine Frage:
Moin,

ich suche nach Hilfe zur Lösung von folgender Aufgabe (ich komme im Augenblick leider nicht weiter):

Seien A und B beliebige Punkte in einem Kreis K. Wie viele Kreise existieren im Inneren von K, welche durch die Punkte A und B gehen?

A und B liegen im Kreis K. Nicht auf dem Umfang. Und auch die Kreise im inneren dürfen den äußeren Kreis in keiner Weise schneiden.



Meine Ideen:
Damit die Kreise durch A und B gehen, müssen die Mittelpunkte der Kreise auf dem Mittellot der Strecke AB liegen.

Die Radien der Kreise im Inneren sind in jedem Fall kleiner als der Radius von K.

Meiner Meinung nach müsste es unendlich viele Kreise geben, egal welche Lage A und B haben.

Es gibt Grenzen auf dem Mittellot, die festlegen bis wohin Mittelpunkte sein können.

Das sind meine Überlegungen dazu, ich komme leider nicht weiter und hoffe auf Hilfe!
Danke!
riwe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: wieviele Kreise passen in einen Kreis ?
damit hast du alles gesagt Augenzwinkern
wisili Auf diesen Beitrag antworten »
RE: wieviele Kreise passen in einen Kreis ?
Ich meine wie riwe, dass du die richtigen Antworten gegeben hast. Es könnte sein, dass noch ein Unbehagen ausgeräumt werden muss, ob auch wirklich immer Kreise existieren. Hat man nämlich die Existenz wenigstens eines Kreises gesichert, dann ist aufgrund deiner Zeichnung klar, wie dieser variiert werden kann, sodass sofort unendlich viele Kreise existieren müssen.

Um nun diesen einen Kreis zu sichern, schlage ich vor, dass du zum gegebenen KONZENTRISCHE Kreise je durch A und B legst. Den kleineren der beiden brauchen wir nicht. Nehmen wir an, der grössere gehe durch A. Nun strecken wir den neuen Kreis von A aus, bis er durch B geht. (Da der Streckfaktor nicht grösser als 1 ist, liegt sein Bild ebenfalls im ursprünglichen Kreis.)
lenar Auf diesen Beitrag antworten »

hallo, danke für die antworten, aber auch wenn ich alles damit gesagt haben mag, dann ist mir dennoch unklar, wie ich die Grenzen, auf dem Mittellot bestimmen kann innerhalb die Mittelpunkte liegen. Kann mir da noch jemand weiterhelfen?
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

es gilt ja:

damit kannst du den größten und kleinsten wert von r berechnen

ist der ortsvektor des jeweiligen mittelpunktes und r der radius des/der gesuchten kreise(s), R der des gegebenen

edit:
genau genommen: gilt obiges für die beiden "grenzkreise" Augenzwinkern

und K(M(0/0), R)
wisili Auf diesen Beitrag antworten »

Eine analytische Lösung findet man so:
Gegeben sei A=(xa,ya), B=(xb,yb).
P=(x,y) liege auf Kreis k: r²=x²+y² (mit Zentrum im Ursprung O=(0,0) o.B.d.A. ).
Bestimme das Zentrum M=(xm,ym) eines Kreises durch A, B und P
etwa als Schnittpunkt zweier Mittelsenkrechten.
Damit sich die Kreise in P nicht bloss schneiden, sondern berühren (eine gemeinsame Tangente haben), müssen O, M und P auf demselben Durchmesser liegen.

Für die 4 Unbekannten hat man 4 Gleichungen: 2 Mittelsenkrechten, Kreis und Durchmesser. Die allgemeine Lösung ist allerdings extrem kompliziert (selbst wenn zur Vereinfachung o.B.d.A. noch r=1 und ya=0 gewählt werden); für numerische Lösungen geht es (mit CAS) aber sehr gut.
 
 
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von wisili
Es könnte sein, dass noch ein Unbehagen ausgeräumt werden muss, ob auch wirklich immer Kreise existieren.

Zu diesem Zweck kann man auch folgenden Kreis betrachten:

Es seien die beiden Punkte im Innern des Kreises mit dem Mittelpunkt , wobei o.B.d.A. sein möge. Dann schneidet die Mittelsenkrechte von die Gerade durch im Innern (oder in den Randpunkten) der Strecke . Dieser Schnittpunkt ist Mittelpunkt eines Kreises, der garantiert im Innern von liegt.
wisili Auf diesen Beitrag antworten »

@Arthur Dent
Das ist derselbe Kreis, den ich oben vorgeschlagen habe.
(Du verwendest die Sprache der Konstruktion und ich die Sprache der Abbildungen.)
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

da gefällt mir der geometrische weg deutlich besser, er liefert ja auch eine konstruktionsanleitung Augenzwinkern

als einfacher zwerg zur existenz von lösungen: dies ist ein "verallgemeinertes PPK-problem".
und dafür existieren 2 lösungen, soferne die punkte auf derselben seite des kreises liegen, was ja hier vorausgesetzt ist.

zur belustigung ein programmchen dazu (makro aktivieren, es ist garantiert jugendfrei)
wisili Auf diesen Beitrag antworten »

@riwe
Abbildungsgeometrie ist auch Geometrie.
Oder nimmst du Bezug auf die «analytische Lösung» oben im Gegensatz zur «PPK-Konstruktion»? Im Letzteren Fall weiss ich natürlich auch nicht, womit lenar gedient ist.
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von wisili
@riwe
Abbildungsgeometrie ist auch Geometrie.
Oder nimmst du Bezug auf die «analytische Lösung» oben im Gegensatz zur «PPK-Konstruktion»? Im Letzteren Fall weiss ich natürlich auch nicht, womit lenar gedient ist.


ich meine einfach, der weg von arthur ist einsichtiger und bietet auch eine konstruktionsvorschrift.

dein weg ist dafür schön abstrakt und elegant Augenzwinkern

ist ja nur (m)eine meinung
lenar Auf diesen Beitrag antworten »

also. das hat mir alles wirklich schon sehr geholfen. ich geh das ganze nochmal mit meinen Worten wieder, um zu sehn, ob ich den ersten Schritt jetzt richtig verstanden hab.

Ich setze voraus, dass ist.

Da auf dem Radius von liegt, ist mit dem Radius eine Stauchung von K. Dieser neue Kreis liegt innerhalb von .
Staucht man entlang der Strecke (also auf dem Radius von ) weiter, so liegen alle Kreise auch in .
Da (Mittellot von ) schneidet, liegt auch der Kreis mit dem Mittelpunkt im Schnittpunkt dieser beiden ( und ) echt in und somit in .
Damit ist also gezeigt (noch kein vollkommener Beweis, aber der Anfang), dass es immer mindestens einen Kreis gibt, der durch und geht, der innerhalb von liegt.

Soweit, so gut.
wisili Auf diesen Beitrag antworten »

Perfekt verstanden.
lenar Auf diesen Beitrag antworten »

Also: eine Teillösung hab ich ja nun. Und zwar den Beweis dafür, dass es immer einen Kreis gibt, der durch A und B geht und im inneren des Kreises K liegt.
Nun hab ich aber noch Schwierigkeiten damit das Intervall auf der Mittelsenkrechten zu bestimmen in dem die Mittelpunkte liegen können, deren Kreise durch A und B gehen.
Klar ist, dass gilt. Und klar ist auch .

Kann ich da irgendwas über das Intervall rausbekommen über den Kreisbogen, der durch A und B ausgeschnitten wird? Oder über Winkel über BMA?
Alles was ich bisher ausprobiert hab, kommt zu keiner Lösung...ich dachte auch zwischenzeitig daran, ob es was mit der Höhe des Kreissegments, das durch die Mittelsenkrechte ausgeschnitten wird, zu tun hat.
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

wisili und ich - mit umsetzung in excel - haben dir doch den weg/wege schon skizziert. Augenzwinkern
wisili Auf diesen Beitrag antworten »

Zu einer analytischen Berechnung der Intervallgrenzen habe ich mich ja schon geäussert. Über eine Konstruktion weiss riwe Bescheid: « ... als einfacher zwerg zur existenz von lösungen: dies ist ein "verallgemeinertes PPK-problem"».
lenar Auf diesen Beitrag antworten »

ähäm...ja. Danke. Nachdem ihr mich noch einmal darauf hingewiesen habt, dass ihr diese Frage ja schon beantwortet habt, versteh ich den Ansatz auch.
Der Berührpunkt des inneren mit dem großen Kreis K hat dieselbe Tangente. Daher liegt auch der Radius des inneren Kreises genau auf dem Radius von K, somit liegen der Mittelpunkt von K, der Mittelpunkt von dem inneren Kreis und der Berührpunkt auf dem Radius von K. (Das gilt für zwei Kreise, weil zwei Intervallgrenzen).
Jetzt muss ich "nur noch" die ganzen Gleichungen gleich setzten und was mit machen um eine allgemeine Lösung zu finden.
Danke für die Hilfe!
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

meine lösung ist sehr einfach und läuft auf das lösen einer quadratischen gleichung raus, wie es geht zeigt die datei smile
wisili Auf diesen Beitrag antworten »

@riwe
Die Datei fehlt (in meiner Browser-Anzeige) noch.
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von wisili
@riwe
Die Datei fehlt (in meiner Browser-Anzeige) noch.

@lenar
Folgende Skizzen findet man hier.

[attach]15466[/attach] [attach]15467[/attach] [attach]15468[/attach]


hallo wisili,
entschuldige, ich meinte die datei von "ganz am anfang": ppk.allgemein.zip auf seite 1

ich male meinen einfachen weg einmal her und hoffe die bezeichner sind soweit selbsterklärend:







damit erhält man die quadratische gleichung in t:



gehören die hübschen bilderl nicht in den "erdöl"-beitrag verwirrt
wisili Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, natürlich, sorry, ich nehme die Bilder gleich wieder weg. Und die Datei habe ich gefunden ... Danke!
lenar Auf diesen Beitrag antworten »

@riwe: Kurze Nachfrage, ob ich die Bezeichnungen richtig verstanden hab:
mögliche Mittelpunkte von Kreisen durch A und B
Mittelpunkt Strecke AB
ist Parameter
Mittelsenkrechte auf Strecke AB
Ortsvektor von A
Radius von möglichen Kreisen durch A und B
Radius vom gegebenen Kreis K

Soweit richtig?
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

alles Freude

und nur am rande: den vektor
erhältst du aus durch vertauschen der komponenten und vorzeichenwechsel einer komponente
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