Riemannsche Zetafunktion - Nullstellen

02.07.2010, 18:10

PeterH

Riemannsche Zetafunktion - Nullstellen

Meine Frage:
Hi!
Ich habe eine Frage in Bezug auf die Nullstellen (genauer gesagt auf die nichttrivialen Nullstellen) der Riemannschen Zetafunktion. Ich habe vor kurzem einige Artikel zu der zugehörigen Vermutung gelesen, die ich wirklich interessant finde. Eine Frage habe ich jedoch: Da ich auf dem Gebiet nicht sonderlich bewandert bin, würde es mich interessieren, wie man überhaupt die Nullstellen berechnet (im Internet wird immer groß und breit von den Nullstellen erzählt, ohne jedoch die Quintessenz darzustellen). Damit meine ich nicht die Berechnungen, die von Computern durchgeführt werden, sondern wie beispielsweise Riemann selbst es damals von Hand gemacht hat. Kann mir das vielleicht jemand erklären (und vielleicht auch an dem Beispiel der ersten Nullstelle klar machen)? Ich würde mich wirklich riesig darüber freuen.
Mit freundlichen Grüßen,
PeterH

Meine Ideen:

03.07.2010, 08:37

Mystic

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RE: Riemannsche Zetafunktion - Nullstellen

Zitat:

Original von PeterH
Ich habe eine Frage in Bezug auf die Nullstellen (genauer gesagt auf die nichttrivialen Nullstellen) der Riemannschen Zetafunktion. Ich habe vor kurzem einige Artikel zu der zugehörigen Vermutung gelesen, die ich wirklich interessant finde. Eine Frage habe ich jedoch: Da ich auf dem Gebiet nicht sonderlich bewandert bin, würde es mich interessieren, wie man überhaupt die Nullstellen berechnet (im Internet wird immer groß und breit von den Nullstellen erzählt, ohne jedoch die Quintessenz darzustellen). Damit meine ich nicht die Berechnungen, die von Computern durchgeführt werden, sondern wie beispielsweise Riemann selbst es damals von Hand gemacht hat. Kann mir das vielleicht jemand erklären (und vielleicht auch an dem Beispiel der ersten Nullstelle klar machen)? Ich würde mich wirklich riesig darüber freuen.

Sorry, aber ich fürchte, diesen Gefallen wird dir hier niemand machen machen können, denn die Riemannsche Vermutung in der Originalversion auf Schulniveau herunzutransformieren ist dann doch ein bißchen viel verlangt, wie jeder bestätigen wird, der sich da ein bißchen auskennt...

Hier trotzdem ein paar Andeutungen dazu...Es geht dabei um die Nullstellen der Funktion

$\begin{eqnarray*} \eta(s) = \sum_{n=1}^\infty \frac {(-1)^{n+1}}{n^s}, \quad Re(s)>0 \end{eqnarray*}$

welche also in "rechten" Hälfte der Gaußschen Zahlenebene definiert ist und für deren Nullstellen s gilt 0<Re(s)<1...Sie hängt mit $\begin{eqnarray*} \zeta \end{eqnarray*}$ -Funktion über die Gleichung

$\begin{eqnarray*} \zeta(s) =(1-2^{1-s})^{-1}\eta(s), \quad Re(s)>0, \ s \ne 1 \end{eqnarray*}$

zusammen, d.h., diese beiden Funktionen haben die gleichen Nullstellen im fraglichen Bereich... Die Riemannsche Vermutung besagt nun, dass diese alle auf der Mittelgeraden Re(s)=1/2 liegen...

Nun geht es interessanterweise bei der ganzen Sache aber nicht primär um $\begin{eqnarray*} \eta(s) \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \zeta(s) \end{eqnarray*}$ , sondern der Protagonist ist eigentlich eine andere reelle(!) Funktion Z(t), die berühmte Riemann-Siegel-Funktion, für welche gilt, dass

$\begin{eqnarray*} |Z(t)|=|\zeta(\frac 12+it)| \quad \forall t \in \mathbb R \end{eqnarray*}$

d.h., diese Funktion hat auf der sog. "kritischen" Geraden Re(s)=1/2 die gleichen Nullstellen wie $\begin{eqnarray*} \zeta(s) \end{eqnarray*}$ ... Es gibt zu dieser Funktion übrigens ein nettes Java-Applet im Internet, und der zugehörige Artikel ist auch sonst sehr lesenswert...

Kurzum, man kann über diese Funktion Z(t), deren Werte sich sehr einfach durch die sog. Riemann-Siegel-Formel berechnen lassen, sich die Nullstellen von $\begin{eqnarray*} \zeta(s) \end{eqnarray*}$ auf der kritischen Geraden sehr leicht verschaffen... Nun gibt es aber Abschätzungen dafür (s. obigen Link), wieviele Nullstellen es im kritischen Streifen 0<Re(s)<1 im Bereich 0<Im(s)<T höchstens geben kann...Wenn man also auf der kritischen Geraden mittels Z(t) schon soviele gefunden hat, dann kann es außerhalb von ihr im kritischen Streifen keine mehr geben, das ist der entscheidende Punkt in allen diesen Überlegungen...Tja, und das war bisher bei allen Überprüfungen (insbesondere für die ersten 10 Billionen absolut kleinsten Nullstellen!) eben noch immer der Fall... Augenzwinkern

Edit: Falls das bei obigen Ausführungen zu wenig deutlich herausgekommen ist, wenn du also wirklich Nullstellen von $\begin{eqnarray*} \zeta(s) \end{eqnarray*}$ im kritischen Streifen 0<Re(s)<1 berechnen willst, solltest du dich an die reelle und "wunderbar glatte" Riemann-Siegel-Funktion Z(t) halten, und dir aus dem Internet raussuchen, wie man deren Werte berechnet (in der Praxis geschieht das - wie gesagt - mit Hilfe der Riemann-Siegel-Formel, aber es gibt auch mehr explizite Formeln, die für den Anfang vielleicht leichter sind!)...Sofern die Riemannsche Vermutung stimmt, gehen dir so keine Nullstellen von $\begin{eqnarray*} \zeta(s) \end{eqnarray*}$ im kritischen Streifen "durch die Lappen"...

03.07.2010, 10:58

PeterH

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RE: Riemannsche Zetafunktion - Nullstellen
Danke für die sehr ausführliche Antwort! Vielleicht war es dann doch etwas naiv von mir zu denken, dass man diesen Sachverhalt mal eben darstellen kann. Dennoch: Du hast mir wirklich sehr weitergeholfen!

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