Lagrange

Neue Frage »

02.07.2010, 19:04	Typ1	Auf diesen Beitrag antworten »
Lagrange Hallo, die Lagrangefunktion versteh ich eigentlich aber irgendwie nicht diese Aufgabe. Die Produktionsfunktion eines Limonadenherstellers ist gegeben durch x = 5 v1 v2 – v2^2 Die Kostenfunktion des Unternehmers lautet: C= v1 + v2. Bestimmen Sie den maximalen Ertrag für C = 12 a) durch Substitution b) anhand der Multiplikatorregel von LAGRANGE. Wie berechne ich das? also die Budgetgleichung ist ja 12=v1+v2 Aber wie ist das mit der Produktionsfunktion? Bis jetzt habe ich immer Nutzenfunktionen verwendet. Ist das jetzt das Gleiche oder wo liegen die Unterschiede und vor allem wie berechne ich diese Aufgabe? a und b verstehe ich beides nicht. Bitte um Hilfe
03.07.2010, 00:24	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Hier ist natürlich die Produktionsfunktion zu maximieren. a) Nebenbedingung: v1 + v2 = 12 Hauptbedingung: $\begin{eqnarray} 5 v_1 v_2 - v_2^2 \ \to \ \text{Max.} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f(v_2) = 5 v_2 (12 - v_2) - v_2^2 \ \to \ \text{1. Abl. = Null} \end{eqnarray}$ b) Bei dem Lagrange-Multiplikationsverfahren wird allgemein die Funktion $\begin{eqnarray} L(x, y, \lambda) = z(x,y) + \lambda g(x,y) \end{eqnarray}$ eingeführt und deren partielle Ableitungen nach x, y bestimmt und Null gesetzt (Gradientenmethode), wobei z(x,y) die Hauptbedingung und g(x,y) die Nebenbedingung ist. Die beiden durch das Nullsetzen erhaltenen (einfachen) Gleichungen werden nach x, y aufgelöst und liefern, in die Nebenbedingung eingesetzt, den Multiplikator $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ Bei diesem Beispiel lautet die Funktion $\begin{eqnarray} L(v_1, v_2, \lambda) = 5v_1v_2-v_2^2 + \lambda (12 - v_1 - v_2) \end{eqnarray}$ und deren partielle Ableitungen nach $\begin{eqnarray} v_1, v_2, \lambda \end{eqnarray}$ sind demgemäß Null zu setzen. Mittels des Rand-Checks wird verifiziert, dass in der Zielfunktion die Randwerte keinen größeren Wert liefern das lokale Maximum im Inneren. [ v1 = 7, v2 = .., ... ] mY+
05.07.2010, 15:05	Typ1	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, danke für das schnelle Antworten. ich bekomme ein anderes Ergebnis heraus. Kann mir jemand sagen, wo der Fehler beim rechnen liegt? 5v1v2-v2^2 + lamda *(12-v1-v2) delta L/delta v1= 5v2-v2^2 -lamda deltaL/delta v2= 5v1 - 2v2 -lamda 5v2-v2^2 = 5v1-2v2 /+2v2 /5 = (7v2-v2^2)/5 = v1 Einsetzen in Budgetgleichung: 12= (7v2-v2^2)/5 +v2 /5 60= 7v2-v2^2 + 5v2 pq Formel: v2^2-12v2 + 60 ^ v2= 10,9 bzw. 1,1 Danke
05.07.2010, 15:13	Typ1	Auf diesen Beitrag antworten »
Und dann noch eine Frage zur Substitutionsmethode. Wie ist da das allgmeine Vorgehen? ich leite nach v2 ab, soweit verstanden. Warum multipliziere ich die Budgetgleichung (12-v2) mit 5v2?
05.07.2010, 15:33	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Befasse dich einmal genauer mit der partiellen Ableitung. Alle anderen Variablen, ausser jener, nach welcher gerade abgeleitet wird, sind als Konstanten zu behandeln. Daher stimmen deine partiellen Ableitungen nicht. Richtig ist $\begin{eqnarray} \frac{\partial L}{\partial v_1} = 5v_2 - \lambda \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \ldots \end{eqnarray}$ ______________________________ Bei der Substitutionsmethode ist eine Variable aus der Nebenbedingung zu berechnen und diese dann in der Hauptbedingung zu ersetzen. Mit v1 geht es leichter. $\begin{eqnarray} v_1 = 12 - v_2 \end{eqnarray}$ Was passiert nun, wenn du v1 in der Hauptbedingung konsequent durch diesen Term ersetzst? mY+
05.07.2010, 15:51	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Eine Bitte: Schreibe nicht unter verschiedenen Namen. Typ1 = negativer Nutzen Entscheide dich für nur einen Namen! mY+
Anzeige

15.12.2010, 14:47	Fonsie	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe noch eine Frage zu der Aufstellung der Lagrange - Funktion: Sie schreiben: $\begin{eqnarray} L(v_1, v_2, \lambda) = 5v_1v_2-v_2^2 + \lambda (12 - v_1 - v_2) \end{eqnarray}$ wieso schreiben Sie nicht $\begin{eqnarray} L(v_1, v_2, \lambda) = 5v_1v_2-v_2^2 + \lambda (v_1 + v_2-12) \end{eqnarray}$ Das ist doch nicht etwa das Gleiche? Ausserdem bekomme ich die partielle Ableitung nicht hin, wenn ich erst die Gleichung umstelle und dann versuche sie abzuleiten. Könnten Sie Ihre Schritte noch etwas erläutern? Danke
15.12.2010, 23:49	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Es ist das Gleiche. In der Klammer bei $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ steht die auf Null gebrachte Nebenbedingung. Und in beiden Varianten ist der entsprechende Wert der Klammer Null und beide führen - natürlich dann bei verschiedenen Vorzeichen von $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ - wieder zu den gleichen Resultaten für die übrigen Variablen. . Du brauchst nichts umstellen, sondern solltest sofort auf die Ableitungen losmarschieren. Schreibe doch einmal, was du nicht hinbekommst. $\begin{eqnarray} \frac{\partial L}{\partial v_1} = 5v_2 - \lambda \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \ldots \end{eqnarray}$ mY+
16.12.2010, 12:38	Fonsie	Auf diesen Beitrag antworten »
Mir ist die Vorgehensweise nicht ganz klar. Zunächst muss ich doch die Formel auflösen und handlicher machen (damit es auch für mich nachvollziehbar bleibt): $\begin{eqnarray} L(v_1, v_2, \lambda) = 5v_1v_2-v_2^2 + \lambda v_1 + \lambda * v_2-12) \end{eqnarray}$ Es soll nach v_1 abgeleitet werden, damit sollen die anderen wie Konstanten behandelt werden, und fallen doch somit beim Ableiten weg. wenn ich also nach v_1 ableite, kommt bei mir $\begin{eqnarray} 5 + \lambda \end{eqnarray*}$ raus. Ich hab gestern noch eine andere, ganz ähnliche Aufgabe gepostet mit dem Betreff: partielle Ableitung - Lagrange. Da scheitere ich an der gleichen Stelle.
16.12.2010, 12:55	Fonsie	Auf diesen Beitrag antworten »
-- Ich sehe gerade: Wenn man nach $\begin{eqnarray} v_1 \end{eqnarray}$ ableitet, wird alles mit $\begin{eqnarray} v_2 \end{eqnarray}$ als konstant behandelt und bleibt somit stehen. dann hab ich da raus: $\begin{eqnarray} L(v_1, v_2, \lambda) = 5v_2-v_2^2 + \lambda + \lambda v_2) \end{eqnarray*}$
16.12.2010, 18:15	Fonsie	Auf diesen Beitrag antworten »
Was natürlich völliger Quatsch ist. $\begin{eqnarray} \frac{\partial L}{\partial v_1} = 5v_2 - \lambda \end{eqnarray}$ - Ich versteh nur nicht, warum ausgerechnet dieses v_2 hinter der fünf stehen bleibt Anderes Beispiel, folgende Funktion $\begin{eqnarray} G\left(x1,x2\right)= 150x_{1}-0,9x_{1}^{2}+270x_2-0,9x_2^{2}+0,6x_1x_2-12000 \end{eqnarray}$ Diese Funktion soll nach $\begin{eqnarray} x_1,x_2 \end{eqnarray}$ abgeleitet werden. $\begin{eqnarray} \frac{\partial L}{\partial x_1} = 150-1,8x_1+0,6x_2=0 \end{eqnarray}$ Mir ist jetzt nicht klar, warum ausgerechnet dieses $\begin{eqnarray} x_2 \end{eqnarray}$ hinter $\begin{eqnarray} 0,6 \end{eqnarray}$ noch stehen bleibt. Genauso wie in der oberen Aufgabe das $\begin{eqnarray} v_2 \end{eqnarray}$ hinter der $\begin{eqnarray} 5 \end{eqnarray}$ . Danke
16.12.2010, 23:01	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn du $\begin{eqnarray} 0.6x_1x_2 \end{eqnarray}$ nach $\begin{eqnarray} x_1 \end{eqnarray}$ ableitest, dann bleiben alle Faktoren von $\begin{eqnarray} x_1 \end{eqnarray}$ stehen ... $\begin{eqnarray} \to 0.6x_2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_2 \end{eqnarray}$ ist in diesem Moment genauso eine Konstante wie 0,6. mY+

Neue Frage »

Antworten »

Lagrange

Verwandte Themen