Bereichsintegral eines Kreises

02.07.2010, 19:45

Analytiker 1

Bereichsintegral eines Kreises

Hallo,

bei folgender Aufgabe möchte ich wissen ob mein Ansatz stimmt.

[attach]15393[/attach]

Berechnung in Zylinderkoordinaten:

$\begin{eqnarray*} x=r*cos \phi \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y=r*sin \phi \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y=\sqrt{2x-x^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0\leq r\leq 2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0\leq \phi\leq \frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$

Transformation:

$\begin{eqnarray*} f(r,\phi)=(1-r^2*cos \phi^2-r^2*sin \phi^2)^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int\int_B \! f(r,\phi) \, dr d\phi \end{eqnarray*}$

02.07.2010, 20:21

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RE: Bereichsintegral eines Kreises
Ich halte das für aufwändig.

Der Bereich, der durch die Ungleichung angegeben ist, läßt sich in der x-y-Ebene sauber beschreiben (d.h. auch zeichnen: einfach mal tun).
Erstmal umformen (x und y trennen).

Dann wirst Du erkennen, daß
1. der Bereich für x klar limitiert ist
2. zu jedem y ein min. und max. y ermittelbar ist.

Damit sind die Integrationsgrenzen klar.

03.07.2010, 13:49

Analytiker 1

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x und y trennen...

also $\begin{eqnarray*} 0\leq x\leq 2 \end{eqnarray*}$

und $\begin{eqnarray*} y=\sqrt{2x-x^2} \end{eqnarray*}$

oder wie?

als Zeichnung bekomme ich einen Halbkreis in der positiven x,y Achse.

ist das richtig so?

03.07.2010, 21:36

Analytiker 1

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kann mir hier jemand weiterhelfen?

04.07.2010, 22:07

Analytiker 1

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ist das so richtig?

$\begin{eqnarray*} \int_{x=0}^2\int_{y=0}^{\sqrt{2x-x^2} } \!( 1-x^2-y^2) \, dy \,dx \end{eqnarray*}$

04.07.2010, 23:00

Tarnfara

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Edit: Ich glaub, hier stand quatsch.

05.07.2010, 09:44

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@Analytiker_1

M.E. solltest du bei deinem ursprünglichen Weg über Polarkoordinaten (Zylinderkoordinaten wären es erst mit einer zusätzlichen Raumkoordinate $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

) bleiben: Der Integrand vereinfach sich sowieso zu $\begin{eqnarray*} f(r,\varphi) = (1-r^2)^2 \end{eqnarray*}$ , und das Integrationsgebiet $\begin{eqnarray*} x^2+y^2 \leq 2x \end{eqnarray*}$ wird zu $\begin{eqnarray*} r^2 \leq 2r\cos\varphi \end{eqnarray*}$ , d.h. $\begin{eqnarray*} r\leq 2\cos\varphi \end{eqnarray*}$ . Das macht erst mal nur für nichtnegative $\begin{eqnarray*} \cos\varphi \end{eqnarray*}$ Sinn, so dass man das $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ -Integrationsintervall auf $\begin{eqnarray*} \left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right] \end{eqnarray*}$ einschränken kann.

Zusammen mit $\begin{eqnarray*} \dd x ~ \dd y = r ~ \dd r ~ \dd\varphi \end{eqnarray*}$ kommt man dann recht schnell weiter.

07.07.2010, 15:39

Analytiker 1

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achso, ja das sieht schon mal gut aus.

Aber warum macht das nur für nicht negative $\begin{eqnarray*} \cos\varphi \end{eqnarray*}$ Sinn?

lautet das Integral dann so?

$\begin{eqnarray*} \int_{-\frac{\pi }{2}} ^{\frac{\pi}{2}} \int_0^{2*cos \phi} \! (1-r^2)^2 \,r\, dr \, d\phi \end{eqnarray*}$

07.07.2010, 15:55

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Zitat:

Original von Analytiker 1
Aber warum macht das nur für nicht negative $\begin{eqnarray*} \cos\varphi \end{eqnarray*}$ Sinn?

Radius $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ ist immer nichtnegativ.

Was meinst du, wieviele nichtnegative $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} r\leq 2\cos\varphi \end{eqnarray*}$ es gibt, falls $\begin{eqnarray*} \cos\varphi<0 \end{eqnarray*}$ ist? Augenzwinkern

Zitat:

Original von Analytiker 1
lautet das Integral dann so?

$\begin{eqnarray*} \int_{-\frac{\pi }{2}} ^{\frac{\pi}{2}} \int_0^{2*cos \phi} \! (1-r^2)^2 \,r\, dr \, d\phi \end{eqnarray*}$

Ja. Anschließend ausmultiplizieren und die $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ -Integration durchführen.

Die nächste Integration über $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ ist dann bei dem Integranden schon etwas komplizierter - aber du wirst dir schon was einfallen lassen.

07.07.2010, 16:42

Analytiker 1

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achso, ja stimmt, der Radius kann ja nur positiv sein.

als Ergebnis bekomme ich 4/3 pi.

wenn ich mir den Bereich zeichne, bekomme ich einen Kreis mit dem Radius r=1 und dem Mittelpunkt (x=0, y=1), stimmt das?

angenommen ich würde die Integration ohne die Funktion durchführen, bekäme man dann die Fläche des Bereichs?

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