Folgen und Reihen

14.06.2004, 22:16	Deltaone	Auf diesen Beitrag antworten »
Folgen und Reihen Eigentlich ganz einfach aber ich verstehe es wohl wieder einmal nicht -.- Bestimmen Sie die Anzahl der Summanden und den WErt der folgenden Summe : 1+4+16+64 ... + 65536 Verstehe ich nicht ganz was soll ich machen ^^ bzw. was wollen die :/ Dann was ich absolut nicht hinbekomme : In einem Weinkeller sollen 220 Flaschen aufgeschichtet werden, in der obersten Reihe soll nur 1 Flasche liegen. Jede weiter Reihe hat 1 Flasche mehr als die darüberliegende. Wie viele Reihen sind nötig ? Wie viele Flaschen bleiben übrig ? Ich brauch bei der letzten eigentlich nur wie ich es genau umstelle, da ich am umstellen verzweifle :/ Würde mich über Antworten freuen. Eigentlich ganz leicht die Aufgaben aber kp warum ich die nicht verstehe :/
14.06.2004, 22:55	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
na guck dir doch mal 1 + 4 + 16 + 64 genau an, na mit welcher Potenz ließen sich die ganzen summanden darstellen? Das was du da hast läßt sich prima als rekursive funktion definieren f(0) = 1 f(n) = 4*f(n-1) danach sollte sich doch recht einfach die zahl der summanden berechnen lassen ; )# Du könntest natürlich auch die Summenformel aufstellen dafür zum andern teil amch ich mir heut kein kopf mehr sry
14.06.2004, 23:34	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, genau, denn du hast da die folge der Potenzen von 4. Also $\begin{align} 4^0\ +\ 4^1\ +\ 4^2\ +\ 4^3\ +\ ...\ +\ 4^n \end{align}$ Das nennt sich übrigens geometrische Reihe. Dafür gibts auch ne tolle explizite Formel. Da kannst du ja dann ganz einfach die Summe ausrechnen. Und die Anzahl der Summanden: Du hast $\begin{align} 4^0\ +\ 4^1\ +\ 4^2\ +\ 4^3\ +\ ...\ +\ 4^n \end{align}$ also genau (n+1) Summanden. Jetzt musst du nur herausfinden, wie groß n ist. Du weißt: $\begin{align} 4^n\ =\ 65536 \end{align}$ Das jetzt einfach nach n umstellen, hoffe, das kannste noch (Tipp: Logarithmen!). Also bei der zweiten hast du folgendes: Die Anzahl der Flaschen in einer Reihe n ist n, denn jede nächste Reihe kommt eine dazu, aber auch die Stelle der Reihe (also die wievielte Reihe es ist) vergößert sich um 1. Also ist die Summe: $\begin{align} 1\ +\ 2\ +\ 3\ +\ ...\ +\ n \end{align}$ Dafür gibts auch ne explizite Formel, falls du sie noch nich kennst, hier ist sie: $\begin{align} 1\ +\ 2\ +\ 3\ +\ ...\ +\ n\ =\ \frac{n(n+1)}{2} \end{align}$ Jetzt weißt du $\begin{align} \frac{n(n+1)}{2}\ \leq\ 220\ \leq \ \frac{(n+1)(n+2)}{2} \end{align}$ Einfach die linke (Un)Gleichung nach n umstellen bzw. es wird eine quadratische (Un)Gleichung, die du ja hoffentlich lösen kannst (pq-Formel oder ähnliches).Dann nur die positive Lösung betrachten und die nächste natürliche Zahl, die kleiner als die Lösung ist, ist die gesuchte Reihenanzahl (einfach bei der Lösung die Nachkommastellen weglassen, dann bekommst du gleich die gesuchte Zahl).
15.06.2004, 11:13	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
hier die summe fuer teil 1 $\begin{align} \Bigsum_{k=0}^n~4^k \end{align}$ hier die summe fuer teil 2 $\begin{align} \Bigsum_{k=1}^n~k = \frac{n(n+1)}{2} \end{align*}$ wie Mathespezialschueler schon gesagt hat So du hast jetzt eigentlich alles was du brauchst

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