Gleichung zweier Quadratischen Funktionen

03.11.2006, 23:15

rgernha

Gleichung zweier Quadratischen Funktionen

Hallo allerseits.

Ich will zeigen :
$\begin{eqnarray*} f(x) = f(y) \Rightarrow x=y \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(x) =a x^2+bx+c \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(y) = ay^2+by+c \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} ax^2+bx + c =ay^2+by+c | (...) - c \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} ax^2+bx = ay^2+by \end{eqnarray*}$

Und ab hier komme ich nicht weiter.
Wäre echt super wenn mir einer helfen könnte (von der Anschaaung her ist x=y ja ziemlich klar, aber ich weiß absolut nicht, wie ich da formal hinkomme).

mfg.Robert

03.11.2006, 23:17

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Gleichung zweier Quadratischen Funktionen
Was war jetzt gegeben und was soll gezigt werden?

Lob für Latex Benutzung! Wink

03.11.2006, 23:26

rgernha

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo allerseits.

Ich will zeigen :
$\begin{eqnarray*} f(x) = f(y) \Rightarrow x=y \end{eqnarray*}$
Gegeben:
$\begin{eqnarray*} f(x) = ax^2+bx+c \end{eqnarray*}$

mfg.Robert

03.11.2006, 23:31

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

Und das soll wohl für alle f(x), f(y) in der Bildmenge von f gelten. Also willst Du Zeigen, dass die Funktion injektiv ist.

Die Funktion, die du untersuchst ist

$\begin{eqnarray*} f(x) = a\cdot x^2+bx+c \end{eqnarray*}$

eine quadratische Funktion (für $\begin{eqnarray*} a \neq 0 \end{eqnarray*}$ ) aber genau für diese Funktionen gilt die Behauptung eben nicht. Vergleiche Dazu schon die Standardfunktion:

$\begin{eqnarray*} f(x)=x^2 \end{eqnarray*}$

D.h. wir müssten noch aufschreiben, warum a = 0 sein muss.

Dann bleibt eine Lineare Funktion übrig. Ist es soweit klar?

03.11.2006, 23:52

rgernha

Auf diesen Beitrag antworten »

Heißt das, dass der Beweis so läuft, dass man
$\begin{eqnarray*} f(x) = f(y) \Rightarrow x=y \end{eqnarray*}$
annimmt und daraus folgert, dass a=0 sein muss (dies wäre ein Widerspruch zur der Annahme $\begin{eqnarray*} a \neq 0 \end{eqnarray*}$ , die im Aufgabentext gegeben wurde)?

03.11.2006, 23:54

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

Hast Du das Übungsblatt online?

Denn quadratische Funktionen, ohne weitere Bedingung (z.B. du würdest nur den rechten Parabelast betrachten) sind nicht injektiv.

03.11.2006, 23:57

rgernha

Auf diesen Beitrag antworten »

Die genaue Aufgabenstellung lautet:

Untersuchen sie folgende Abbildungen $\begin{eqnarray*} f: \mathbb R \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$ auf Injektivität und Surjektivität.

$\begin{eqnarray*} (a) f(x) = ax^2+bx+c , a \neq 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a,b,c \in \mathbb R \end{eqnarray*}$

03.11.2006, 23:59

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

Bitte editieren

04.11.2006, 00:10

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

Na dann haben wir's ja schon. Untersuchen und beweisen sie dass gilt sind ja 2 paar schuhe :-)

So, mit $\begin{eqnarray*} a \neq 0 \end{eqnarray*}$ und der Defintionsmenge $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ sind uns die Möglichkeiten, Injektivität zu beweisen genommen. also wiederlegen wir sie.

Dazu kann man z.b. ein Gegenbeispiel verwenden. Dabei müssen wir nur aufpassen, dass wir nicht den Scheitelpunkt der Parabel treffen. Der ist der einziste, wo die Bezihung Bild - Urbild eineindeutig ist.

ERinnerst Du dich an die Scheitelpunktsform einer quadratischen Funktion? stichwort quadratische Ergänzung.

Ich habe das in einem anderen Thread auch schon mal aufgeschrieben.

Wähle nun einen Funktionswert z ungleich dem des Scheitelpunktes und zeige, das es verschiedene x,y gibt, für die gilt f(x)=f(y)=z

Mit dieser Form (Scheitelpunktsform) kannst du dann auch gleich die FRage nach der surjektivität beantworten.

04.11.2006, 09:12

rgernha

Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, vielen Dank für deine geduldige Hilfe. Freude

Eine Frage noch: Um die Funktion auf Subjektivität zu untersuchunen könnte ich doch auch die Umkehrfunktion auf Definitionslücken untersuchen?

04.11.2006, 09:46

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

nein - da die Funktion nicht bijektiv ist, kannst Du sie nicht umkeheren. Wenn du dies abschnittsweise tun willst, bracuhs Du auch wieder die Scheitelpunktsform, um den scheitel zu bestimmen und die Fallunterscheidung zu machen. Wenn man diese Form aber schon hat, ist d (siehe anderer Thrad) aber schon das Minimale , Maximaler Funktionswert gegeben. ja nach Vorzeichen von a.

Gruß

04.11.2006, 09:57

rgernha

Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, jetzt hab ichs verstanden.
Vielen Dank für die Hilfe Wink

04.11.2006, 10:02

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

Gerne,

Zitat:

Subjektivität

und es heißt SURJEKTIV Augenzwinkern