Limes x gegen + unendlich

03.07.2010, 10:37

kation22

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Limes x gegen + unendlich

Meine Frage:
Hallo,

also ich soll den

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to + \infty } x * \ln (\frac{x-1}{x+1} ) \end{eqnarray*}$

ausrechnen.

Meine Ideen:
Im TR habe ich mir den Graph zeichnen lassen und denke der Grenzwert müsste gegen -2 gehen.
aber wie ich das in dem fall ausrechne, weiß ich absolut nicht. hab nicht mal nen ansatz... bitte um Hilfe.

kation22

03.07.2010, 11:57

tigerbine

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RE: Limes x gegen + unendlich
Unschön ist, dass wir "oo" und "0" als einzelne Grenzwerte hätten. Können wir das irgendwie "ändern"?

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to + \infty } x * \ln (\frac{x-1}{x+1} ) =\lim_{x \to + \infty } \frac{\ln (\frac{x-1}{x+1})}{\frac{1}{x}} \end{eqnarray*}$

Nun haben wir "0"/"0". Warum ist das nun besser? 'Hospital

03.07.2010, 12:17

kation22

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RE: Limes x gegen + unendlich
"Unschön ist, dass wir "oo" und "0" als einzelne Grenzwerte hätten. Können wir das irgendwie "ändern"?"

ok danke das ist ein ansatz. mit l'hospital kann ich was anfangen.

aber ich versteh nicht deine aussage. meinste du damit das x erstmal gegen "oo" und der ln-ausdruck gegen 0 geht?

03.07.2010, 12:23

tigerbine

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RE: Limes x gegen + unendlich
Ja, das meine ich. So können wir keinen Grenzwertsatz anwenden, da dazu beide Grenzwerte bestimmt sein müssten. oo ist aber unbestimmt. Mit der umformulierung und L'hospital sollte man auf 2 bestimmte Grenzwerte kommen.

03.07.2010, 12:25

kation22

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RE: Limes x gegen + unendlich
nachdem ich die erste ableitung nun mit l'hospital gemacht habe, komm ich auf

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty b} \frac{\frac{x+1}{x-1} }{x^{-2} } \end{eqnarray*}$

aber was sagt mir das?

03.07.2010, 12:29

tigerbine

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RE: Limes x gegen + unendlich
Bitte setze Klammern um latex. Du musst L'Hospital solange machen, bis nicht mehr 0/0" dasteht. Ich habe da was anderes im Zähler raus.

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03.07.2010, 12:36

kation22

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RE: Limes x gegen + unendlich
ln x = 1/x

deshalb mein ansatz:

$\begin{eqnarray*} ln (\frac{x-1}{x+1}) = \frac{1}{\frac{x-1}{x+1} } = \frac{x+1}{x-1} \end{eqnarray*}$

03.07.2010, 12:37

tigerbine

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RE: Limes x gegen + unendlich
Nachdifferenzieren?

03.07.2010, 12:39

kation22

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RE: Limes x gegen + unendlich
wie is das falsch? jetzt bin ich verwirrt

03.07.2010, 12:45

tigerbine

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RE: Limes x gegen + unendlich
http://de.wikipedia.org/wiki/Kettenregel Du musst auch noch die innere Ableitung bilden. http://www.mathetools.de/

03.07.2010, 14:09

kation22

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RE: Limes x gegen + unendlich
oh ja natürlich.

also haben wir nach der ersten ableitung dann:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty b} \frac{\frac{x+1}{x-1}*\frac{-2}{(x-1)^{2} } }{x^{-2} } \end{eqnarray*}$

?

03.07.2010, 14:24

tigerbine

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RE: Limes x gegen + unendlich
Da habe ich was anderes raus.

$\begin{eqnarray*} \frac{\dd}{\dd x} \left(\log \left({{x-1}\over{x+1}}\right)\right) ={{\left(x+1\right)\,\left({{1}\over{x+1}}-{{x-1}\over{\left(x+1 \right)^2}}\right)}\over{x-1}} = \frac{\frac{2}{(x+1)}}{(x-1)} =\frac{2}{(x+1)(x-1)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{\dd}{\dd x} \left({{1}\over{x}}\right) =-{{1}\over{x^2}} \end{eqnarray*}$

03.07.2010, 20:28

kation22

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RE: Limes x gegen + unendlich
ich verstehe deine ln Ableitung nicht.

es ist doch: ln x = 1/x * innere Ableitung ??

da komme ich in dem fall auf:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\frac{x-1}{x+1} } * \frac{2}{(x+1)^{2}} \end{eqnarray*}$

und wenn ich das zusammenfasse auf:

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{(x-1)^{2} } \end{eqnarray*}$

03.07.2010, 20:34

tigerbine

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RE: Limes x gegen + unendlich
Du musst nur die Kettenregel und vor allem die Quotientenregel korrekt anwenden.

$\begin{eqnarray*} \frac{\dd}{\dd x} \left(\log \left({{x-1}\over{x+1}}\right)\right) =\frac{\left(x+1\right)}{(x-1)} \cdot \frac{1\cdot(x+1) - (x-1)\cdot 1}{(x+1)^2} \end{eqnarray*}$

03.07.2010, 20:46

kation22

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RE: Limes x gegen + unendlich
so hab ich es ja auch gemacht
und wenn ich das am ende zusammenfasse alles komme ich auf:

$\begin{eqnarray*} \frac{(x+1)}{(x-1)} * \frac{2}{(x+1)^{2} } = \frac{2}{(x+1)(x-1)} \end{eqnarray*}$

03.07.2010, 20:47

tigerbine

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RE: Limes x gegen + unendlich

Zitat:

Original von tigerbine
Da habe ich was anderes raus.

$\begin{eqnarray*} \frac{\dd}{\dd x} \left(\log \left({{x-1}\over{x+1}}\right)\right) ={{\left(x+1\right)\,\left({{1}\over{x+1}}-{{x-1}\over{\left(x+1 \right)^2}}\right)}\over{x-1}} = \frac{\frac{2}{(x+1)}}{(x-1)} =\frac{2}{(x+1)(x-1)} \end{eqnarray*}$

Und das stand doch schon hier... Du hattest geschrieben

Zitat:

Original von kation22
ich verstehe deine ln Ableitung nicht.

es ist doch: ln x = 1/x * innere Ableitung ??

da komme ich in dem fall auf:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\frac{x-1}{x+1} } * \frac{2}{(x+1)^{2}} \end{eqnarray*}$

und wenn ich das zusammenfasse auf:

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{(x-1)^{2} } \end{eqnarray*}$

03.07.2010, 21:07

kation22

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RE: Limes x gegen + unendlich
ja und weil ich das erbenis deiner ableitung nicht verstehe, wollte ich dir nochmal detailiert zeigen, wie ich meine gemacht habe...

aber ich verstehe deine irgendwie immer noch nicht, vielleicht siehst du aber, was ich in meiner falsch gemacht haben könnte?

03.07.2010, 21:12

tigerbine

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RE: Limes x gegen + unendlich
Ich habe es dir detailliert vorgerechnet. Am Ende sagst du selbst:

Zitat:

Original von kation22

so hab ich es ja auch gemacht
und wenn ich das am ende zusammenfasse alles komme ich auf:

$\begin{eqnarray*} \frac{(x+1)}{(x-1)} * \frac{2}{(x+1)^{2} } = \frac{2}{(x+1)(x-1)} \end{eqnarray*}$

VORHER schreibst du

Zitat:

Original von kation22
ich verstehe deine ln Ableitung nicht.

es ist doch: ln x = 1/x * innere Ableitung ??

da komme ich in dem fall auf:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\frac{x-1}{x+1} } * \frac{2}{(x+1)^{2}} \end{eqnarray*}$

und wenn ich das zusammenfasse auf:

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{(x-1)^{2} } \end{eqnarray*}$

Was denn nun. unglücklich

unglücklich

Beim zweiten hast du auf jeden Fall falsch zusammengefasst.

03.07.2010, 21:28

kation22

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RE: Limes x gegen + unendlich
ok, ich sehs ein... erstmal danke... ich versuch die aufgabe weiter ;-)

03.07.2010, 21:34

kation22

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RE: Limes x gegen + unendlich
jetzt habe ich zu stehen:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty } \frac{\frac{2}{(x+1)(x-1)} }{\frac{-1}{x^{2} } } \end{eqnarray*}$

nur leider sehe ich daran immer noch nichts. woher weiß ich z.b. ob ich jetzt nochmal ableiten muss/soll oder irgendwie zusammenfassen kann?

03.07.2010, 21:35

tigerbine

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RE: Limes x gegen + unendlich
Löse den Doppelbruch auf. Löse alle Klammern auf. Erinnere dich an Grenzwertuntersuchungen von gebrochen rationalen Funktionen.

03.07.2010, 21:52

kation22

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RE: Limes x gegen + unendlich
ok, wenn ich alles zusammenfasse und x² ausklammere, komme ich tatsächlich auf -2.

ich glaube ich muss noch ganz schön üben! danke auf jeden fall...

03.07.2010, 21:54

tigerbine

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RE: Limes x gegen + unendlich
Bitte. Freu dich, dass du nicht aufgegeben hast. Augenzwinkern

Augenzwinkern

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