teilerfremd 10 und 7 -> streichen der endnull ändert nichts am teilbarkeitsverhalten durch 7 |
| 03.07.2010, 11:47 | Carina2203 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| teilerfremd 10 und 7 -> streichen der endnull ändert nichts am teilbarkeitsverhalten durch 7 Hallo, ich bin gerade dabei, meine Seminararbeit für Zahlentheorie/Mathematik zu schreiben. Darin geht es um Teilbarkeitsregeln. Bei meiner Frage geht es um die Teilbarkeit durch die Primzahl 7 nach der Summen- bzw. Differenzregel. Diese Regel für die Teilbarkeit durch 7 lautet: Streiche die letzte Ziffer, Verdopple die gestrichene Zahl und subtrahiere sie von der neuen Zahl, fahre so lange wie möglich/nötig fort. In diesem Buch bin ich nun auf folgendes gestoßen: [...] Das mehrfache Streichen der Endnull, also das Dividieren durch 10, verändert nicht das Teilbarkeitsverhalten der jeweiligen Zahlen bezüglich 7, weil 7 und 10 keine gemeinsamen Teiler außer 1 haben, die beiden Zahlen also teilerfremd sind.[...] Dass 7 und 10 teilerfremd sind, ist mir klar, aber warum kann ich eine Zahl, die ich durch 10 teile, einfach auch ohne weiteres auf die teilbarkeit durch 7 prüfen? Meine Ideen: 520:7=74 R2 52:7=7 R3 Die "Reste" sind hier verschiedene, aber müssten sie nicht gleich sein, wenn sich das Teilbarkeitsverhalten bzgl. 7 nicht ändert? |
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| 03.07.2010, 13:40 | lgrizu | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: teilerfremd 10 und 7 -> streichen der endnull ändert nichts am teilbarkeitsverhalten durch 7 die aussage ist eine andere, nämlich, dass division durch 10 nichts an der teilbarkeit der zahl durch 7 ändert. ist eine zahl durch 7 teilbar und durch 10, so ist sie auch durch 70 teilbar, da 7 und 10 teilerfremd sind. wenn du also eine zahl hast, die am ende eine 0 hat (durch 10 teilbar ist) und durch 7 teilbar ist, so ist die zahl, die man durch streichen der null erhält noch immer durch 7 teilbar. und die reste müssen nicht die gleichen sein, wir nehmen eine zahl a, diese erzeugt bei division durch 7 den rest r_1, also existiert eine zahl z aus Z mit z*7=a+r_1. multiplikation auf beiden seiten mit 10 ergibt z*7*10=10a+10r_1. r_1 ist eine zahl zwischen 1 und 6, setzen wir r_1=1 so ist 10r_1=10, 10 mod 7=3. wir haben also z*10*7=10a+7+r_2 mit r_2=3. mit a ist auch 10a durch 7 teilbar und mit 7 teilt 7 gilt, dass 10a+7 durch 7 teilbar ist, es ist aber ein neuer rest entstanden, nämlich r_2=3. ich hoffe das ist einigermaßen verständlich 
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| 04.07.2010, 16:19 | Carina2203 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: teilerfremd 10 und 7 -> streichen der endnull ändert nichts am teilbarkeitsverhalten durch 7
das habe ich immer noch nicht verstanden 
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| 04.07.2010, 18:20 | lgrizu | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: teilerfremd 10 und 7 -> streichen der endnull ändert nichts am teilbarkeitsverhalten durch 7
ich habe doch schon geschrieben, dass, wenn eine zahl durch 7 und durch 10 teilbar ist, dass sie dann auch durch 70 teilbar ist, da 7 und 10 teilerfremd sind. das kann man aus der schule (bruchrechnen) noch kennen, kann man in einem bruch 3 und 2 kürzen, so empfiehlt es sich, gleich 6 zu kürzen, das geht, denn 2 und 3 sind teilerfremd. im gegensatz dazu ist es nicht zwangsläufig möglich, in einem bruch, in dem zähler und nenner durch 5 und 10 teilbar sind auch 50 zu kürzen, denn 5 und 10 haben den gemeinsamen teiler 5 (beispiel 120/210). du kannst auch die primfaktorzerlegung einer zahl betrachten, ist diese durch 7 und 10 teilbar, so hat sie (unter anderen) die primfaktoren 2,5,7. die zahl ist also darstellbar als 2*5*7*z für ein z aus Z. dividiert man diese zahl durch 10 so ist noch 7*z übrig und das ist wieder durch 7 teilbar. |
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| 06.07.2010, 17:56 | Carina2203 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
also geht es bei der regel nur darum, dass eine zahl, die nicht durch 7 teilbar ist, auch nach streichen der endnull nicht durch 7 teilbar ist? hmm, ich denke, dass ich es größtenteils verstanden habe... könnte man dies dann auch auf andere regeln allgemein anwenden? wenn z.B.729 auf die teilbarkeit durch 11 geprüft werden soll, kürze ich einfach mit 9, komme auf 81 und da 81 nicht durch 11 teilbar ist, ist auch 729 nicht durch elf teilbar? |
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| 06.07.2010, 18:56 | lgrizu | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
genau.
da 9 und 11 teilerfremd sind geht das, ist eine zahl durch 9 und 11 teilbar, so auch durch 99.... für teilbarkeit durch 11 hilft jedoch auch die alternierende quersumme
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| 25.08.2010, 15:23 | Carina2203 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
ich habe eine weitere frage zu den teilbarkeitsregeln und zwar zu der endstellenregel: kann man als verallgemeinerung sagen, dass die endstellenregel auf all diejenigen zahlen anwendbar ist, für die gilt, dass sie den rest 0 lassen wenn man eine beliebige zehnerpotenz durch ihnen teilt?! und ist dann also 100, also 10² die erste zehnerpotenz, die durch diese zahl (beispielsweise 4) teilbar ist, dann muss man die letzten zwei stellen der zahl auf die teilbarkeit untersuchen?! ist es dann bei der quersummenregel genau so, also dass man zahlen mit der quersummenregel für diejenigen zahlen untersuchen kann, die ein vielfaches haben, welches den rest 1 lässt, wenn man eine beliebige zehnerpotenz durch diese zahl teilt? ich hoffe, die fragen sind verständlich 
gruß carina |
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