Ableitung von f(x)=x^cos(x)

03.07.2010, 15:26

jaykop

Ableitung von f(x)=x^cos(x)

Hallo,

ich bitte euch um Hilfe die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)= x^{cos(x)} \end{eqnarray*}$ abzuleiten.

Ich habe es mit der allgemeinen Regel für die Exponentialfunktion versucht aber irgend wie ist das noch nicht ganz richtig.

$\begin{eqnarray*} f(x)= a^{x} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(x)= ln a * a^{x} \end{eqnarray*}$

also wäre das Ergebniss bei mir :

Anwedung der Kettenregel

Innere ableitung: z= v(x) = cos(x) => z'=v'(x)= -sin(x)

äußere ableitung: $\begin{eqnarray*} u(z)= x^{z} => u'(z)=ln x * x^(z) \end{eqnarray*}$

Meine Lösung : $\begin{eqnarray*} f'(x) = -sin (x) * ln(x) * x^{cos(x)} \end{eqnarray*}$

Ich würde gerne verstehen wie man es mit der Kettenregel lösen kann. Wenn es geht natürlich. Auf manchen Seite habe ich gelesen das man die Funktion auch in eine exponential Funktion umwandeln kann was bei mir aber der nächste schritt wäre nachdem ich verstanden habe diese funktion mit der Kettenregel abzuleiten...

03.07.2010, 15:35

Cel

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Guter Ansatz, aber deine Überlegungen beziehen sich, wie du ja auch schreibst, auf die Funktion $\begin{eqnarray*} h(x) = a^x \end{eqnarray*}$ . Hier ist a fest, eine Konstante.

Das ist bei deiner Funktion nicht der Fall. $\begin{eqnarray*} f(x) = x^{\cos(x)} = e^{\cos(x) \cdot \ln(x)} \end{eqnarray*}$ .

Schreibe die Funktion so. Wenn du jetzt ableitest, musst du beim Nachdifferenzieren die Produktregel anwenden. Vorher kam da als Ableitung nur ein konstantes a heraus. So etwas in der Art hast du nun auch gemacht.

03.07.2010, 15:42

jaykop

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Wenn ich ne e funktion habe muss ich dann diese Regel anwenden zum ableiten.

$\begin{eqnarray*} f(x)=e^{u(x)} => f'(x)= u'(x) * e^{u(x)} \end{eqnarray*}$

also kann man die Aufgabe nur Lösen wenn man es vorher in eine Exponentialfunktion umgewandelt hat ?

03.07.2010, 15:51

Cel

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Zitat:

Original von jaykop
Wenn ich ne e funktion habe muss ich dann diese Regel anwenden zum ableiten.

$\begin{eqnarray*} f(x)=e^{u(x)} => f'(x)= u'(x) * e^{u(x)} \end{eqnarray*}$

also kann man die Aufgabe nur Lösen wenn man es vorher in eine Exponentialfunktion umgewandelt hat ?

Genau, nutze diese Regel! Es bietet sich immer an, das mit Potenzregeln umzuschreiben. Übrigens leitet man sich so auch die Ableitung von meinem h von oben her.

03.07.2010, 16:13

jaykop

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Somit komm ich auf die Lösung :

$\begin{eqnarray*} f'(x) = -sin(x) * ln(x) + cos(x) * \frac{1}{x} * e^{cos(x)*ln(x)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x) = -sin(x) * ln(x) + cos(x) * \frac{1}{x} * x^{cos(x)} \end{eqnarray*}$

kann das richtig sein ?

03.07.2010, 16:20

Cel

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Vergiss nicht die Klammern! Ansonsten gut, den e-Term kannst du auch wieder umschreiben, wenn du möchtest.

03.07.2010, 16:35

jaykop

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so in etwa die Klammer mein ich ?

$\begin{eqnarray*} f'(x) = (-sin(x) * ln(x) + cos(x) * \frac{1}{x} )* x^{cos(x)} \end{eqnarray*}$

wenn ja bedanke ich mich für deine Hilfe Wink

03.07.2010, 17:07

Cel

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Wunderbar und bitte. smile

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