Binomialverteilung und Standartnormalverteilung (Aufgabenteil c)

03.07.2010, 20:09

Andre1985a

Binomialverteilung und Standartnormalverteilung (Aufgabenteil c)

Meine Frage:
hi, ich habe eine Aufgabe zur Binomialverteilung:
Die Wahrscheinlichkeit, dass es in einem Urlaubsort am Mittelmeer an einem Tag im Juni regnet, beträgt 10 % unabhängig davon, welche Wetterlage an den übrigen Juni-Tagen dort herrscht.
a)Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit das
a1) in einer Woche nicht regnet?
a2)in einer Woche an mindestens drei Tagen regnet?
a3) im ganzen Juni höchstens zwei Regentage gibt?

b) Bestimmen Sie den Erwartungswert und die Varianz für die Anzahl der Regentage in einer Juni-Woche.

c)Am selben Ort ist die Sonnenscheindauer an einem Juni-Tag normalverteilt mi mü= 10 Stunden und sigma quadrat = 7,84 Stunden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit das die Sonne im Juni eines Jahres durchschnittlich zwischen neun und elf Stunden scheint?
habe schon was gerechnet aber weiss nicht genau ob ich mit meinen Gedanken richtig liege!

Meine Ideen:
ein Juni Tag hat 30 Tage, also n=30 die Regenwahrscheinlichkeit beträgt 10 % an einem Tag also p=0,1
da die Frage heisst "a1) in einer Woche nicht regnet?"
und 0,1 die Wahrscheinlichkeit darstellt das es regnet, habe ich mir gedacht das man die Gegenwahrscheinlichkeit nehmen muss (0,9) das es an einem Tag nicht regnet. Diese Werte habe ich dann in die Binomialverteilungsformel eingesetzt.
$\begin{eqnarray*} fx(x)=\begin{pmatrix} 30 \\ 7 \end{pmatrix} *0,9^{7}*0,1^{23}= 9,737*10^{-18} \end{eqnarray*}$ dies wäre eine sehr kleine Wahrscheinlichkeit, deswegen bin ich mir unsicher, wenn ich:
$\begin{eqnarray*} fx(x)=\begin{pmatrix} 30 \\ 7 \end{pmatrix} *0,1^{7}*0,9^{23}= 0,018043 \end{eqnarray*}$ machen würde, wäre es meiner Meinung nach unlogisch, weil 0,1 die Wahrscheinlichkeit beschreibt das es regnet aber $\begin{eqnarray*} *0,1^{7} \end{eqnarray*}$ drückt doch aus das es an 7 Tagen regnet! Aber gesucht ist ja die Wahrscheinlichkeit das es an 7 tagen nicht regnet $\begin{eqnarray*} *0,9^{7} \end{eqnarray*}$

a2) Gesucht ist $\begin{eqnarray*} p(x\geq 3) \end{eqnarray*}$ demnach 3,4,5,6,7 also kann man auch die Gegenwahrscheinlichkeit nehmen $\begin{eqnarray*} 1 - p(x\leq 2) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} fx(x)=\begin{pmatrix} 30 \\ 0 \end{pmatrix} *0,1^{0}*0,9^{30}+\begin{pmatrix} 30 \\ 1 \end{pmatrix} *0,1^{1}*0,9^{29}+\begin{pmatrix} 30 \\ 2 \end{pmatrix} *0,1^{2}*0,9^{28}= 0,41135<br /> 1-041135=0,58865 \end{eqnarray*}$
a3) gesucht $\begin{eqnarray*} p(x\leq 2) \end{eqnarray*}$ also 0,1, und 2, Diese ist schon ausgerechnet 0,41135

b) $\begin{eqnarray*} E(x)= n * p <br /> E(x) = 7 * 0,1 =0,7 \end{eqnarray*}$
oder es wäre gemeint für die Anzahl der Regentage aus Aufgabe a2) oder einfach so wie es ich gemacht habe ? Was würdet Ihr dazu sagen?

c)mü = 10 u. sigma quadrad= 7,84 sigma ist dann die Wurzel daraus = 2,8
Gesucht ist $\begin{eqnarray*} P(9\leq x\leq 11) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} Z0=\frac{x0- mue}{sigma} \end{eqnarray*}$
da wir den Wert 9 und 11 rechnen wir Z0 zweimal aus:
$\begin{eqnarray*} Z0=\frac{9- 10}{2,8} = -0,35714 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} Z0=\frac{11- 10}{2,8} = +0,35714 \end{eqnarray*}$
die nächste Formel ist:
$\begin{eqnarray*} F(2) - F(1) \end{eqnarray*}$
also
$\begin{eqnarray*} F(0,35714) - F (-0,35714) \end{eqnarray*}$
diese Werte müsste man doch aus der Stadardnormalverteilungstabelle raussuchen oder?
meine Werte gehen jedoch nur bis 0,5000
hebt sich "F(0,35714) - F (-0,35714)" auf, ist also = 0, oder wird das dank den zwei minusen + ? und dann 0,71428 ? Darf man das überhaupt zusammenrechnen?

Wäre echt gut wenn jemand mal drüber schauen könnte, und mir vielleicht Tipps geben könnte, nächsten Freitag ist nämlich die Statistik Klausur...

Ich bedanke mich im Vorraus

03.07.2010, 20:54

wisili

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RE: Binomialverteilung und Standartnormalverteilung (Aufgabenteil c)
a1) WÄHREND 7 Tagen kein Regen:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 7 \\ 0 \end{pmatrix} *0.1^{0}*0.9^{7} \end{eqnarray*}$

Die anderen 23 Tage des Monats spielen keine Rolle (wie deine Aufgabenerklärung es wörtlich sagt).

a2) musst du entsprechend a1) korrigieren. Die Idee des Summierens und des Gegenereignisses stimmt.

a3) stimmt.

b) E = 0.7 stimmt. Var = 7*0.1*0.9 = 0.63

c) mü, sigma und z0 sind okay. «Zusammenrechnen» in deinem Sinn geht dort nicht.
Aber du kannst die Symmetrie der Normalverteilung ausnützen.
F(0.35714)-F(-0.35714) ist das doppelte von F(0.35714)-F(0)
wobei F(0) = 0.5 gilt.

05.07.2010, 16:59

Andre1985a

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RE: Binomialverteilung und Standartnormalverteilung (Aufgabenteil c)
hi wisili,
ich danke dir für die schnelle Antwort, konnte erst jetzt schreiben, bin im Lernstress...

"Aber du kannst die Symmetrie der Normalverteilung ausnützen.
F(0.35714)-F(-0.35714) ist das doppelte von F(0.35714)-F(0)
wobei F(0) = 0.5 gilt."

Wenn ich diese Art von Aufgabe habe bei dem der gleiche Wert im negativen und positiven steht(+0,35714 und -0,35714) dann ist das immer das doppelte von F(0,35714)-F(0) ? Kann das nicht so ganz einordnen, was bedeutet "das doppelte von..."? Und wenn dann gilt F(0) = 0,5, heisst das dann das ich F(0,35714) - F(0,5) = -0,14286?

05.07.2010, 18:43

wisili

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RE: Binomialverteilung und Standartnormalverteilung (Aufgabenteil c)

Zitat:

Original von Andre1985a
$\begin{eqnarray*} F(0,35714) - F (-0,35714) \end{eqnarray*}$
diese Werte müsste man doch aus der Stadardnormalverteilungstabelle raussuchen oder? meine Werte gehen jedoch nur bis 0,5000

Gemäss deinen Angaben nahm ich an, F(x) sei die Standardnormalverteilung.
Es wird oft auch als $\begin{eqnarray*} \Phi (u) \end{eqnarray*}$ bezeichnet.
Dann müsste aber F(0) = 0.5 sein.
Und F(0.35714) = 0.6395.

Wenn dem nun nicht so ist, haben wir aneinander vorbeigeschrieben.
Dann müsstest du nachschauen, was denn F genau ist, bzw. wo du zu den Werten der Standardnormalverteilung kommst.

P.S.
Wenn du schreibst F(0,35714) - F(0,5) = -0,14286
meinst du 0,35714 - 0,5 = -0,14286?

06.07.2010, 10:12

Andre1985a

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also ich dachte man müsse die 2 Werte die man berechnet hat in der Standardnormalverteilungstabelle nachschauen so wie bei folgender Aufgabe: Wenn wir haben: Mü= 60 sigma= 10 und $\begin{eqnarray*} P (80\leq x \leq 96) \end{eqnarray*}$
dann würden wir haben 80-60/10= 2 und 96-60/10=3,6 diese Werte würde ich in der Standardnormalverteilungstabelle nachschauen und dann F(3,6)-F(2) = 1 - 0,977 = 0,023

Ich dachte jetzt die Aufgaben seien identisch und deswegen auf gleiche Weise lösbar.
Aber da es ja eine Standartnormalverteilung ist, ist es doch wegen der Symetrie egal ob es ein Negativer oder Postiver Wert ist oder? Da ich doch die Werte raushabe: +0,35714 und -0,35714 und diese dann laut Tabelle 0,6395 und -0,6395 darstellen, würden die beiden doch dann ergeben: F(0,35714) - F(-0,35714) = 0 oder?

Ich glaube es ist ein Verständlichkeitsproblem von meiner Seite her
F(0) = 0,5 würde ich vestehen, wenn wir ein F(0) hätten, aber wir haben doch nur ein F(0,35714)

sorry wegen den blöden Fragen

06.07.2010, 11:08

wisili

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Du erfindest Tabellenwerte, die gar nicht existieren, z.B.
« Da ich doch die Werte raushabe: +0,35714 und -0,35714 und diese dann laut Tabelle 0,6395 und -0,6395 darstellen»

F(-0.35714) = 0.36049.

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