Lagrangemultiplikatoren die zweite. Bitte um Überprüfung

04.07.2010, 01:35

Tarnfara

Lagrangemultiplikatoren die zweite. Bitte um Überprüfung

Meine Aufgabe:

Bestimmen sie alle Extrema (soweit existent) der Funktion

$\begin{eqnarray*} f(x,y,z) = x^4 + y^4 + z^4 \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} S^2 = \{ (x,y,z) : x^2 +y^2 + z^2 = 1 \} \end{eqnarray*}$

Ansatz: Ich habe zunächst wieder Begriffe sortiert und $\begin{eqnarray*} g(x,y,z) = x^2 + y^2 + z^3 -1 \end{eqnarray*}$ definiert.

Dann unter der Annahme, dass f ein Extremum unter g = 0 besitzt ein Gleichungssystem aufgestellt mit

$\begin{eqnarray*} \nabla f ( \xi) + <\lambda, \nabla g ( \xi> = 0 \end{eqnarray*}$

also:
$\begin{eqnarray*} 4 \xi_1^3 + 2 \lambda \xi_1 = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 4 \xi_2^3 + 2 \lambda \xi_2 = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 4 \xi_3^3 + 2 \lambda \xi_3 = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \xi_1^2 + \xi_2^2 + \xi_3^2 = 1 \end{eqnarray*}$

Mit sehr vielen Fallunterscheidungen (geht das auch eleganter ? ) erhalte ich 24 mögliche Lösungen:

$\begin{eqnarray*} P_1 = (1,0,0), P_2 = (0,1,0), P_3 = (0,0,1), \lambda = -1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P_i = (0, \pm \sqrt{\frac{1}{2}}, \pm \sqrt{\frac{1}{2}}), P_j = (\pm \sqrt{\frac{1}{2}}, 0, \pm \sqrt{\frac{1}{2}}), P_k = (\pm \sqrt{\frac{1}{2}}, \pm \sqrt{\frac{1}{2}}, 0) ,\lambda = -2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P_l = (\pm \sqrt{\frac{1}{3}}, \pm \sqrt{\frac{1}{3}}, \pm \sqrt{\frac{1}{3}}), \lambda = - \frac{2}{3} \end{eqnarray*}$

Sodann war ich mir nicht so sicher, wie vorzugehen sei und am Ende machte ich es so:

Setze $\begin{eqnarray*} h(x,y,z) := f(x,y,z) + \lambda g(x, y, z) \end{eqnarray*}$

Dann habe ich die Hessematrix gebildet:

$\begin{eqnarray*} H_k (x,y,z) = \begin{pmatrix} 12x^2 +2 \lambda & 0 & 0 \\ 0 & 12y^2 + 2 \lambda & 0 \\0 & 0 & 12z^2 + 2\lambda \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

In die habe ich dann doof eingesetzt und herausbekommen, dass ich lokale Minima in den P_l und Sattelpunkte in den anderen Punkten habe.

Da die Sphäre kompakt ist, sind die Minima global (ich habe noch nachgerechnet, dass f jeweils denselben Funktionswert annimmt).

Feedback höchst willkommen,

Grüße

04.07.2010, 08:46

Mystic

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RE: Lagrangemultiplikatoren die zweite. Bitte um Überprüfung
Nur 4 Anmerkungen dazu (obwohl für Aufgaben dieser Art eigentlich tigerbine weit kompetenter wäre, aber hier handelt es sich wirklich um offensichtliche Dinge)

1. Du schreibst

$\begin{eqnarray*} g(x,y,z)=x^2+y^2+z^3-1 \end{eqnarray*}$

was vermutlich nur ein Schreibfehler bei der 3-ten Potenz von z ist...

2. Deine Lösungen haben z.T. falsche $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ -Werte, sind unvollständig und man kann sie m.E. auch besser anschreiben, nämlich so:

$\begin{eqnarray*} 1.\ |x|=|y|=|z|=\frac 1{\sqrt 3}, \quad \lambda =-\frac 23 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2.\ (|x|=|y|=\frac 1{\sqrt 2},\ z=0) \lor (|x|=|z|=\frac 1{\sqrt 2},\ y=0) \lor (|y|=|z|=\frac 1{\sqrt 2},\ x=0), \quad \lambda =-1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 3.\ (|x|=1,\ y=z=0) \lor (|y|=1,\ x=z=0) \lor (|z|=1,\ x=y=0), \quad \lambda =-2 \end{eqnarray*}$

3. Die Idee mit der Hessematrix funktioniert m.E. nur bei Extremwertsaufgaben ohne Nebenbedingungen... Hier braucht man die KKT-Bedingungen oder sowas von der Art, da bin ich aber selber nicht sattelfest (s.o.)

4. Anscheinend verwechselst du "kompakt" mit "konvex", z.B., wenn du schreibst, dass die Minima auch global sind, weil die Sphäre "kompakt" ist...

Edit: Und ja, Fallunterscheidungen sind das einzig Wahre hier und auch höchst effizient.. Man muss es nur richtig machen, z.B. so

1. Fall: Alle drei Variablen x,y,z sind $\begin{eqnarray*} \neq 0 \end{eqnarray*}$
2. Fall: Genau eine der drei Variablen ist 0 (setze z.B. z=0 und vertausche dann in der Lösung z mit y bzw. x)
3. Fall: Genau eine der drei Variablen ist $\begin{eqnarray*} \neq 0 \end{eqnarray*}$ (z.B. x, dann in Lösungen wieder vertauschen wie oben)

Das führt dann sehr schnell auf die oben angegebenen 26 Lösungen...

04.07.2010, 09:24

Tarnfara

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RE: Lagrangemultiplikatoren die zweite. Bitte um Überprüfung

Zitat:

Original von Mystic
Nur 4 Anmerkungen dazu (obwohl für Aufgaben dieser Art eigentlich tigerbine weit kompetenter wäre, aber hier handelt es sich wirklich um offensichtliche Dinge)

Danke für die Mühe ! :-)

Zitat:

Original von Mystic
was vermutlich nur ein Schreibfehler bei der 3-ten Potenz von z ist...

Jepp.

Zitat:

2. Deine Lösungen haben z.T. falsche $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ -Werte, sind unvollständig und man kann sie m.E. auch besser anschreiben, nämlich so:[...]
Welches Lambda ist denn falsch ?

[quote]3. Die Idee mit der Hessematrix funktioniert m.E. nur bei Extremwertsaufgaben ohne Nebenbedingungen... Hier braucht man die KKT-Bedingungen oder sowas von der Art, da bin ich aber selber nicht sattelfest (s.o.)

KKT Bedingung sagt mir leider nichts. Ich habe mal gegooglet. Also davon haben wir bislang wirklich nichts gesehen, dann darf ich das auch nicht verwenden.

Zitat:

4. Anscheinend verwechselst du "kompakt" mit "konvex", z.B., wenn du schreibst, dass die Minima auch global sind, weil die Sphäre "kompakt" ist...

Kannst du das etwas erläutern, da kann ich nicht folgen.

Für mich war die Begründung, dass f stetig ist und daher auf der kompakten Teilmenge (der Sphäre) ein globales Minimum und ein globales Maximum besitzen muss (im Bezug auf die Späre natürlich). f kann unter der NB ja nur dann ein Minimum besitzen, wenn die zweite Ableitung von k verschwindet (= notwendige Bedingung), das ist in den genannten Punkten der Fall. Da die Minima alle den gleichen Wert haben, gibt es kein kleineres. Soweit mein Gedankengang dazu.

Wo hakt es denn da ?
Also warum kann man den Satz von Weierstraß nicht anwenden ?
Ich habe einfach Schwierigkeiten mir bei dieser Kugeloberfläche einen Rand vorzustellen.

Besten Dank.

Zitat:

Edit: Und ja, Fallunterscheidungen sind das einzig Wahre hier und auch höchst effizient.. Man muss es nur richtig machen, z.B. so
Das führt dann sehr schnell auf die oben angegebenen 26 Lösungen...

Vielen Dank, werde das mit deinen Tipps nochmal überarbeiten, die Lösungen hatte ich im Heft anders aufgeschrieben, aber auch nicht mit Beträgen, der Prof. macht das immer mit dem +-.

Grüße

04.07.2010, 11:35

Mystic

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RE: Lagrangemultiplikatoren die zweite. Bitte um Überprüfung

Zitat:

Original von Tarnfara

Welches Lambda ist denn falsch ?

Naja, unsere beiden Angaben für $\begin{eqnarray*} \lambda=-1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lambda=-2 \end{eqnarray*}$ sind vertauscht, d.h., einer von uns beiden liegt da falsch...

Zitat:

Original von Tarnfara
Für mich war die Begründung, dass f stetig ist und daher auf der kompakten Teilmenge (der Sphäre) ein globales Minimum und ein globales Maximum besitzen muss (im Bezug auf die Späre natürlich). f kann unter der NB ja nur dann ein Minimum besitzen, wenn die zweite Ableitung von k verschwindet (= notwendige Bedingung), das ist in den genannten Punkten der Fall. Da die Minima alle den gleichen Wert haben, gibt es kein kleineres. Soweit mein Gedankengang dazu.

Wo hakt es denn da ?

Meiner Meinung nach beantwortest du da eine andere, wenngleich auch interessante Frage, nämlich: Gibt es überhaupt ein globales Maximum bzw. Minimum? Hier geht es aber mehr darum, ob ein vorgegebenes lokales Extremum auch global ist, und das ist eine ganz andere und gewöhnlich nicht so leicht und allgemein beantwortbare Frage... Bei Extremwertsaufgaben ohne Nebenbedingungen spielt da eine große Rolle, ob die Menge der zulässigen Punkte konvex bzw. konkav ist, daher meine diesbezügliche Vermutung...

Zitat:

Original von Tarnfara
Vielen Dank, werde das mit deinen Tipps nochmal überarbeiten, die Lösungen hatte ich im Heft anders aufgeschrieben, aber auch nicht mit Beträgen, der Prof. macht das immer mit dem +-.

Das Problem, das ich mit dieser $\begin{eqnarray*} \pm \end{eqnarray*}$ -Notation habe, dass man sich nie sicher sein kann, ob die Vorzeichen unabhängig oder abhängig voneinander gesetzt werden müssen... Meine Art die Lösung anzugeben ist nicht nur übersichtlicher, sondern umgeht genau dieses Problem auf elegante Weise... Augenzwinkern

Im übrigen würde ich dir empfehlen, die gleiche Aufgabe nochmals zu rechnen, aber mit einer Dimension weniger, d.h., lass die z's einfach überall weg... Damit kannst du alles noch sehr schön graphisch veranschaulichen, insbesondere auch die Niveaulinien $\begin{eqnarray*} x^4+y^4=c \quad (c \ge 0) \end{eqnarray*}$ (in Derive oder Maple kannst du Schieberegler für verschieden Werte von c nutzen!) und beobachten, wann sie den Einheitskreis berühren, denn das ist ja der eintscheidende Punkt für Extrema... Das sollte dir dann helfen, auch deine Aufgabe mit einer Dimension mehr besser zu verstehen...

04.07.2010, 11:48

Huggy

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RE: Lagrangemultiplikatoren die zweite. Bitte um Überprüfung

Zitat:

Original von Mystic
hier geht es aber mehr darum, ob ein vorgegebenes lokales Extremum auch global ist, und das ist eine ganz andere und gewöhnlich nicht so leicht und allgemein beantwortbare Frage...

Die aber in diesem Fall doch leicht zu beantworten ist. Da die Sphäre keinen Rand hat, kann auf ihr ein globales Extremum kein Randextremum sein, ist also auch ein lokales Extremum. Man muss also nur alle Kandidaten für lokale Extrema abklappern.

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