Untermoduln von Restklassen bestimmen

04.07.2010, 07:31

rauschgold

Untermoduln von Restklassen bestimmen

Hallo Leute,

ich soll alle Untermoduln des Moduls

$\begin{eqnarray*} M := \mathbb Z / {3 \mathbb Z} \oplus \mathbb Z / {4 \mathbb Z} \end{eqnarray*}$

bestimmen. (das Symbol für die direkte Summe soll die Bildung von Tupeln aus den angebenen Restklassen vermitteln)

An einem anderen Beispiel wurde uns das schon mal vorgerechnet, aber leider wurde bei dem Rechenbeispiel auch viel mit "..." ausgelassen und somit weiß ich bei manchen Untermoduln nicht, was hingehört und was nicht.

Erstmal habe ich mir alle möglichen Tupel $\begin{eqnarray*} (x, y) \end{eqnarray*}$ meiner Menge M aufgeschrieben und dann versucht durch die Bildung der Vielfachen eines jeden Elements die Untermoudl rauszubekommen (laut den Vor-Berechnungen meines Profs habe ich das jedenfalls so verstanden).

Was ich bis jetzt habe: (die Klammern / Striche für die Darstellung, dass die Restklasse gemeint ist, lasse ich weg):

- $\begin{eqnarray*} \{(0,0)\} \end{eqnarray*}$
- $\begin{eqnarray*} x = 0 : \{(0,0),(0,1),(0,2),(0,3)\} \end{eqnarray*}$
- $\begin{eqnarray*} y = 0 : \{(0,0), (1,0), (2,0)\} \end{eqnarray*}$
- Alle Vielfachen von $\begin{eqnarray*} (1,1) \end{eqnarray*}$ , das ist gleich meinem Modul M und somit inbs. ein Untermodul
* Alle Vielfachen von $\begin{eqnarray*} (1,2) \end{eqnarray*}$ [und hier ergeben sich bereits erste Probleme und zwar ab *] : $\begin{eqnarray*} \{(0,0),(1,2), (2,0), (0,2), (1,0), (2,2), *(0,0), (1,2), (2,0), (0,2), (1,0), ... \} \end{eqnarray*}$ .

Ab * wiederholt sich ja bereits das ersten Elemente wieder. Bin ich also fertig? Ist mein Untermodul dann nur bestehend aus $\begin{eqnarray*} \{(0,0),(1,2), (2,0), (0,2), (1,0), (2,2)\} \end{eqnarray*}$ ?

- Weiter gehts mit allen Vielfachen von $\begin{eqnarray*} (1,3) \end{eqnarray*}$ : $\begin{eqnarray*} \{(0,0), (1,3),(2,2), (0,1), (1,0), (2,3), (0,2), (1,1), (2,0), (0,1), (1,2), (2,1), *(0,0), (1,3), (2,2), ...\} \end{eqnarray*}$ . Ab * wiederholt sich hier ja auch alles. Ist mein gesuchtes Untermodul also dann einfach nur: $\begin{eqnarray*} \{(0,0), (1,3),(2,2), (0,1), (1,0), (2,3), (0,2), (1,1), (2,0), (0,1), (1,2), (2,1)\} \end{eqnarray*}$ .

- und so würde ich mit allen Vielfachen von den restlichen Tupeln weitermachen.

Ist mein Vorgehen denn richtig? Macht das Sinn? Oder habe ich da etwas falsch verstanden?

Gibt es außerdem eine Möglichkeit, die Anzahl der Elemente pro Untermodul irgendwie zu bestimmen? Dann hätte man ja eine Art Kontrollkriterium, das wäre nicht schlecht.

Falls ich komplett falsch liege: welche Möglichkeit gibt es, Untermodule zu bestimmen?

Vielen vielen Dank schon jetzt für eure Mühe!

Lg, rauschgold

edit: Titel verbessert

04.07.2010, 08:49

gonnabphd

Auf diesen Beitrag antworten »

Hi

Wenn du z.B. wie hier

Zitat:

- Weiter gehts mit allen Vielfachen von $\begin{eqnarray*} (1,3) \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} \{(0,0), (1,3),(2,2), (0,1), (1,0), (2,3), (0,2), (1,1), (2,0), (0,1), (1,2), (2,1), *(0,0), (1,3), (2,2), ...\} \end{eqnarray*}$ .
Ab * wiederholt sich hier ja auch alles. Ist mein gesuchtes Untermodul also dann einfach nur:
$\begin{eqnarray*} \{(0,0), (1,3),(2,2), (0,1), (1,0), (2,3), (0,2), (1,1), (2,0), (0,1), (1,2), (2,1)\} \end{eqnarray*}$

(0,1) und (1,0) enthalten hast, muss damit das Untermodul doch schon gleich dem Modul sein, denn alle skalaren Vielfachen und Summen müssen ja wieder drin sein und diese beiden Elemente bilden ein Erzeugendensystem.

Allgemein kannst du nicht einfach alle Vielfachen des ursprünglichen Vektors bilden, sondern musst das gleiche Spielchen im Prinzip mit allen Vektoren machen.
Dass 3 und 4 Teilerfremd sind, könnte dabei behilflich sein. z.B. ist deshalb ersichtlich, dass bei

Zitat:

* Alle Vielfachen von $\begin{eqnarray*} (1,2) \end{eqnarray*}$ [und hier ergeben sich bereits erste Probleme und zwar ab *] :
$\begin{eqnarray*} \{(0,0),(1,2), (2,0), (0,2), (1,0), (2,2), *(0,0), (1,2), (2,0), (0,2), (1,0), ... \} \end{eqnarray*}$

genau die Vektoren {(0,0), (1,0), (2,0), (3,0), (0,2), (1,2), (2,2), (3,2)} rauskommen müssen.

04.07.2010, 09:00

rauschgold

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo gonnabphd,
vielen Dank für deine Antwort.

Genau, wir sind über $\begin{eqnarray*} \mathbb Z \end{eqnarray*}$ .

Verstehe ich also richtig, dass sobald die $\begin{eqnarray*} (0,1) \end{eqnarray*}$ und die $\begin{eqnarray*} (1,0) \end{eqnarray*}$ drin sind, ich gar nicht mehr weitermachen brauche, weil ich aus den beiden ja schon M linear kombinieren kann?!

Dann schränken sich doch die Möglichkeiten für die Untermoduln ziemlich ein, oder?

Wenn ich also das Spielchen (der Vielfachenbildung) mit ALLEN 12 Vektoren machen muss, dann fallen einige ja eh weg (wie $\begin{eqnarray*} (0,0), (0,1), (1,0) \end{eqnarray*}$ ), und bei denen, bei deren Vielfachen die oben genannten Vektoren, die das EZS bilden, dabei sind, kann ich also auch schon aufhören?

Beim Beispiel der Vielfachen von $\begin{eqnarray*} (2,1) \end{eqnarray*}$ , das du zitiert hast, sagst du, dass auch der Vektor $\begin{eqnarray*} (3,0) \end{eqnarray*}$ rauskommen muss. Das geht doch gar nicht, oder? Die erste Komponente stammt ja nur aus den Restklassen mod 3! Was bringt mir außerdem die Teilerfremdheit beider Zahlen?

Wie sehe ich welche Vektoren rauskommen müssen (du sagst, es sei einfach ersichtlich)?

Ist meine Herangehensweise vom Ansatz her also doch richtig?! Sobald sich die Vektoren wiederholen und kein Vektor aus dem EZS dabei ist, habe ich ein Untermodul gefunden?

Wie du siehst, gibt's bei mir noch einiges zu klären ... :-)

04.07.2010, 09:29

gonnabphd

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Beim Beispiel der Vielfachen von $\begin{eqnarray*} (2,1) \end{eqnarray*}$ , das du zitiert hast, sagst du, dass auch der Vektor $\begin{eqnarray*} (3,0) \end{eqnarray*}$ rauskommen muss. Das geht doch gar nicht, oder? Die erste Komponente stammt ja nur aus den Restklassen mod 3! Was bringt mir außerdem die Teilerfremdheit beider Zahlen?

Ja, stimmt. Mod 3 wär's dann wohl (0,0).

Zitat:

Wenn ich also das Spielchen (der Vielfachenbildung) mit ALLEN 12 Vektoren machen muss, dann fallen einige ja eh weg (wie $\begin{eqnarray*} (0,0), (0,1), (1,0) \end{eqnarray*}$ ), und bei denen, bei deren Vielfachen die oben genannten Vektoren, die das EZS bilden, dabei sind, kann ich also auch schon aufhören?

Hmm, eventuell hast du mich falsch verstanden: Ich meinte, wenn du z.B. wie bei dem (1,2)-Beispiel die Vektoren (1,2) und (2,0) betrachtest (welche ja enthalten sind), dann müssen auch alle möglichen Vielfachen von diesen beiden Vektoren und Summen dabei sein (und dann wiederum alle Vielfachen und Summen der erzeugten Vektoren etc.). Also etwa

$\begin{eqnarray*} (1,2) + (2,0) = (0,2), \quad 2 \cdot (2,0) = (1,0), \quad \Rightarrow k \cdot (1,0) + (0,2) = (k,2), \quad k \cdot (1,0) = (k,0) \end{eqnarray*}$

sind alle drin. Deshalb folgt nun jedoch schon, dass die Menge

$\begin{eqnarray*} \{(0,0), (1,0), (2,0), (3,0), (0,2), (1,2), (2,2), (3,2)\} \end{eqnarray*}$

zumindest in dem Untermodul über (1,2) enthalten sein müssen. Nun ist diese Menge schon selbst ein Modul, damit wäre gezeigt, dass sie das Untermodul über (1,2) ist.

Wegen der Teilerfremdheit... naja, eventuell hab' ich mich da auch getäuscht. Augenzwinkern

Seeeehr nützlich ist sie eigentlich nicht...

Neue Frage »

Antworten »

Untermoduln von Restklassen bestimmen

Verwandte Themen