Zeigen, dass Funktion glatt ist (Integral inside)

04.07.2010, 10:55

Tarnfara

Zeigen, dass Funktion glatt ist (Integral inside)

Die Aufgabe lautet:

Zeigen Sie, dass für $\begin{eqnarray*} \rho \in C(\mathbb R^3) \end{eqnarray*}$ mit kompaktem (und quadrierbarem) Träger die Funktion

$\begin{eqnarray*} f(x) := \int_{\mathbb R^3} \! \frac{\rho(y)}{||x-y||} \, dy \end{eqnarray*}$

auf $\begin{eqnarray*} \mathbb R \setminus supp (\rho) \end{eqnarray*}$ glatt ist und eine Lösung der Gleichung $\begin{eqnarray*} \triangle f = 0 \end{eqnarray*}$ darstellt.

Hinweis: Sie benötigen nicht den Satz von Stokes; damit werden wir erst später sehen, dass sogar $\begin{eqnarray*} \triangle f = \rho \end{eqnarray*}$ auf ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ gilt, sofern $\begin{eqnarray*} f \in C^1(\mathbb R^3) \end{eqnarray*}$ ist.

Uff. Also zunächst einmal, ich habe absolut keine Idee, wie hier vorzugehen ist. Das fängt schon damit an, dass ich mir nicht darüber im Klaren bin, was die einzelnen Begriffe bedeuten.

So haben wir mal definiert, dass $\begin{eqnarray*} \triangle f = \sum \partial_i^2 f \end{eqnarray*}$ ist, andererseits könnte damit das Inkrement, also $\begin{eqnarray*} f(x_0+h) - f(x_0) \end{eqnarray*}$ gemeint sein.

Weiter wollte ich mir erstmal klarmachen, was das alles eigentlich bedeutet und habe daher versucht, eine einfache Funktion zu konstruieren, die einen kompakten Träger hat. Dabei bin ich schon kläglich gescheitert.

Außerdem habe ich mit Integration über irgendwelche nicht intervallförmigen Gebiete massive Probleme, weil ich oft keine Idee habe, wie Grenzen festzulegen sind, ob iteriert integriert werden darf oder nicht, etc... Mit anderen Worten, ich konnte der Vorlesung in diesem Bereich nur rudimentär folgen.

Naja und dann habe ich aus Verzweiflung angefangen, "naiv" rumzurechnen, in der Hoffnung, mit Glück eine Idee zu finden, wie man an die Sache rangehen könnte. Das sah dann so aus:

1) Soll zeigen, dass f glatt ist, also versuche einfach mal die erste Ableitung zu ermitteln, gehe dabei von Definition aus, also gesucht ist ein lineares, stetiges A mit

$\begin{eqnarray*} f(x_0 + h) = f (x_0) + Ah + o(h) \end{eqnarray*}$

Also mal eingesetzt und naiv weitergerechnet, ohne zu überprüfen, ob das überhaupt gemacht werden darf...

$\begin{eqnarray*} - \frac{1}{4 \pi} \int_{\mathbb R^3} \! \frac{\rho(y)}{||x_0+h-y||} \, dy + \frac{1}{4 \pi} \int_{\mathbb R^3} \! \frac{\rho(y)}{||x_0-y||} \, dy \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = -\frac{1}{4 \pi} \int_{\mathbb R^3} \! \frac{\rho(y) \left( ||x_0-y||+||x_0+h-y||\right)}{||(x_0-y)(x_0+h-y)||} \, dy \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = - \frac{1}{4 \pi} \int_{supp (\rho)} \! \frac{\rho(y) \left( ||x_0-y||+||x_0+h-y||\right)}{||(x_0-y)(x_0+h-y)||} \, dy \end{eqnarray*}$

Und hier ist es dann spätestens vorbei und ich dachte, ich frag lieber mal, bevor ich wieder den ganzen Tag daran herumrechne, ohne auf irgendein brauchbares Ergebnis zu kommen, da ich mich eigentlich auch noch auf eine wichtige Klausur in einem anderen Fach vorbereiten muss.

Liebe Grüße

04.07.2010, 11:51

gonnabphd

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Erstmal:

Zitat:

Zeigen, dass Funktion glatt ist (Integral inside)

lol, wie verlockend. Big Laugh

Nun zur Aufgabe: Sei $\begin{eqnarray*} \Omega := supp(\rho) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x) := \int_{\mathbb R^3} \! \frac{\rho(y)}{||x-y||} \, dy = \int_\Omega \! \frac{\rho(y)}{||x-y||} \, dy \end{eqnarray*}$

Ich behaupte, dass $\begin{eqnarray*} f^{(n)}(x) = \int_\Omega \! \frac{\rho(y)}{||x-y||^{n+1}} \, dy \end{eqnarray*}$ ist (Edit: natürlich nur ausserhalb des Supports).

Ich beweise mal einen Teil des Induktionsanfangs und überlasse dir den Induktionsschritt:

$\begin{eqnarray*} <br /> \dfrac{f(x) - f(x')}{||x-x'||} - \int_\Omega \! \dfrac{\rho(y)}{||x-y||^{2}} \, dy &=&\int_\Omega \!\dfrac{\rho(y) ( ||x'-y|| - ||x-y||)}{||x-x'|| \cdot ||x-y||\cdot ||x'-y||} - \dfrac{\rho(y)}{||x-y||^{2}} \, dy \\ &\le& \int_\Omega \!\frac{\rho(y)||x-x'||}{||x-x'|| \cdot ||x-y||\cdot ||x'-y||} - \frac{\rho(y)}{||x-y||^{2}} \, dy \\ &=& \int_\Omega \!\frac{\rho(y)}{||x-y||\cdot ||x'-y||} - \frac{\rho(y)}{||x-y||^{2}} \, dy \overset{x' \to x}{\longrightarrow} 0 <br /> \end{eqnarray*}$

den letzten Schritt (Limes) musst du noch begründen.

Für den Induktionsschritt noch der Tipp:

$\begin{eqnarray*} a^n - b^n = (a-b) \sum_{k=0}^{n-1}a^{(n-1-k)}b^k \end{eqnarray*}$

Ich hoffe mal, dass die obigen Überlegungen auch richtig sind, denn ich hab's nicht alles genau nachgerechnet. (ich meine, ich hoffe, dass meine Behauptung zu den Ableitungen oben auch stimmt) plausibel wäre es jedenfalls. Augenzwinkern

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