integral über halbkreis

04.07.2010, 14:24	schultz	Auf diesen Beitrag antworten »
integral über halbkreis Hallo Leute. Ich soll $\begin{eqnarray} \int_B^{} \! x²y \, dxdy \end{eqnarray}$ berechnen, wobei B der obere Halbkreis mit dem Radius 2 um (0,0) ist. nun habe ich $\begin{eqnarray} -2\leq x\leq 2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} 0\leq y\leq \sqrt{4-x²} \end{eqnarray}$ . Nun rechne ich doch $\begin{eqnarray} \int_{-2}^2 \!( \int_0^{\sqrt{4-x²}} \! x²y \, dy) \, dx \end{eqnarray}$ oder? damit komme ich aber nicht auf den Flächeninhalt des Halbkreises, der ja 0,5* $\begin{eqnarray} \pi \end{eqnarray}$ *4 betragen müsste oder?
04.07.2010, 14:27	saz	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, du erhälst bei diesem Integral nicht die Fläche des Halbkreises. Die würdest du erhalten, wenn du $\begin{eqnarray} \int_B 1 \, d(x,y) \end{eqnarray}$ berechnest. In dem Fall oben bei dir integrierst du ja aber eine Funktion über dem Halbkreis, also kommt natürlich nicht die Fläche des Halbkreises raus. Generell bietet es sich bei solchen Aufgaben übrigens an in Polarkoordinaten zu rechnen (falls du das nicht sowieso getan hast).
04.07.2010, 14:31	schultz	Auf diesen Beitrag antworten »
polarkoordinaten haben wir noch nicht eingeführt, deshalb nehme ich an dass wir es in kartesischen koordinaten berechnen sollen. Also stimmt mein Ansatz soweit?wie könnte ich zB prüfen ob mein ergebniss dann richtig ist?
04.07.2010, 15:14	saz	Auf diesen Beitrag antworten »
Dein Ansatz stimmt erstmal soweit, ja. Überprüfen kannst du es nicht direkt, aber du kannst ja einfach mal dein Ergebnis hier schreiben, dann kann ich es auch überprüfen (ob ich auf das gleiche Ergebnis komme)...
04.07.2010, 15:29	schultz	Auf diesen Beitrag antworten »
also: $\begin{eqnarray} \int_{-2}^2 \! \int_0^{\sqrt{4-x²}} \! x²y \, dy \, dx = 0,5 \int_{-2}^2 \! 4x²-x^4 \, dx \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} 0,5\left[4/3 x^3 - 1/5 x^5\right]_{-2}^{2} \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \frac{64}{15} \end{eqnarray}$ hast du das auch so?
04.07.2010, 17:11	saz	Auf diesen Beitrag antworten »
Jep, ist korrekt. (Wenn du Maple/Mathematica oder etwas ähnliches hast, kannst du es dort natürlich auch rechnen lassen. Man kann es nur eben nicht direkt "anschaulich überprüfen".)
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04.07.2010, 17:22	schultz	Auf diesen Beitrag antworten »
gut dankeschön.

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