inneres/ äußeres Produkt |
| 04.07.2010, 20:01 | Omega44 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| inneres/ äußeres Produkt ich habe eine Frage zur Namensgebung. Wieso bezeichnet man das Skalarprodukt als inneres Produkt und das Vektorprodukt als äußeres Produkt? Ich hätte das umgekehrt benannt. Per Definition ist doch eine innere Verknüpfung eine Abbildung A x A-> A wenn A eine Menge ist Eine äußere verknüpfung ist eine verknüpfung der Form A x A -> B oder AxB->A wobei B auch eine Menge ist. Das ergibt auch von der Namensgebung Sinn, weil man bei inneren Verknüpfungen die ganze Zeit innerhalb derselben Menge bleibt und sich nur bei äußeren Verknüpfungen außerhalb einer Menge bewegt. In dieser Hinsicht ergibt für mich die bezeichnung "inneres Produkt" für das Skalarprodukt keinen Sinn, da es sich um eine Abbildung VxV->K handelt, wobei V ein Vektorraum und K ein Körper ist. Das Vektorprodukt ist eine Abbildung der Form VxV->V, wird aber gelegentlich als äußeres Produkt bezeichnet. Einen Hilbertraum bezeichnet man schließlich gelegentlich auch als Innenproduktraum. So war es jedenfalls immer in den Vorlesungen. Bis jetzt. Jetzt in der Vorlesung zur Gruppentheorie bezeichnet der Professor nämlich das bereits bekannte Skalarprodukt als äußeres Produkt und ein neu definiertes Produkt der Form VxV->V als inneres Produkt. Das hat mich anfänglich doch sehr verwirrt. |
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| 04.07.2010, 23:37 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Die Begriffe inneres und äußeres Produkt stammen von Grassmann (1809-1877) und sind damit älter als deine Interpretation "innere/äußere Verknüpfung", die du ihnen nachträglich überstülpst. Du kannst einmal in die Ausdehnungslehre von Grassmann schauen, wo er sogar erklärt, warum er den Begriff äußere Multiplikation nennt. Das Ganze ist natürlich heute schwer zu verstehen. Du mußt bedenken, daß Grassmann implizit mit Vektoren arbeitet, ohne aber diesen Begriff zu verwenden. Er ist ja erst einige Zeit später entstanden. Wahrscheinlich mußt du das ganze Werk von vorne lesen, wenn du eine Chance haben willst, zu verstehen, worum es geht. Vielleicht erkennst du an vielen Stellen, welche Begriffe der modernen Mathematik da verwendet werden, ohne daß sie im Werk schon den heutigen Namen haben. |
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| 05.07.2010, 00:14 | Omega44 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Vielen Dank für die Antwort. Ich finde diese Begriffsbildung jedenfalls sehr verwirrend. Also ich würde es besser finden, wenn das skalarprodukt äußeres Produkt heißen würde. Und ein Prof. den ich in der Gruppentheorievorlesung habe, sagt nämlich jetzt immer äußeres produkt zum Skalarprodukt. Das hat mich verwirrt, weil ich zunächst nicht kapiert habe, dass er das skalarprodukt gemeint hat und dadurch bin ich erst darauf aufmerksam geworden, dass "äußeres Produkt" eigentlich die logischere Bezeichnung wäre. Also das war in der vorlesung so Man hatte zwei vektoren (insgesamt waren es vier vektoren), die einer Gruppentafel entnommen wurden. die sahen bspw. so aus (1, -1, 1, -1) (1, 1, -1, -1) Dann hat er gesagt, dass er jetzt das innere produkt bildet, also hat er gerechnet (1, -1, -1, 1) dann hat er gesagt, dass dies einer der anderen zwei vektoren ist. Also wollte er zeigen, dass die vier elemente abgeschlossen bzg. des inneren produktes sind. Dann habe ich mich die ganze zeit gefragt, wieso der nicht die einträge im vektor addiert, also 1-1-1+1=0 weil das für mich immer das innere produkt war und das hat auch viele andere in der vorlesung verwirrt, wie ich später erfuhr. Später rechnete er tatsächlich das skalarprodukt aus und nannte es dann die ganze zeit "äußeres produkt". Und das was er als inneres produkt bezeichnet, ist wohl ein neu definiertes produkt bei dem man einfach komponentenweise multipliziert. |
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| 05.07.2010, 18:11 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Da ist sicher ein Missverständnis passiert. Tatsache ist: Das innere Produkt ist das skalare Produkt (zwei Vektoren ergeben einen Skalar), und das äussere Produkt ist das Vektorprodukt (zwei Vektoren ergeben wieder einen Vektor). So viel steht einmal fest. mY+ |
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| 20.06.2015, 13:26 | Verrain | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich weiß, der Beitrag ist schon 5 Jahre alt, trotzdem eine einfach zu verstehende Begründung für die Namensgebung: Das innere Produkt • ist durch den Vektorraum V über den Körper (K,+,•) definiert. Während das äußere Produkt eine zusätzliche Definition braucht. Das innere Produkt ist also "in" (K,+,•) enthalten, das äußere nicht... |
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