Klausur |
| 04.11.2006, 11:20 | Richardo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
| Klausur Ich habe mir zur Übung eine Klausur zu gebrochenrationalen Funktionen besorgt. Diese Klausur soll innerhalb eines Zeitrahmens von 90 Minuten geschrieben werden. Ich bin mir an einigen Stellen nicht ganz sicher, wie ich vorgehen soll, deshalb würd ich die Klausur gerne online stellen, und euch bei den einzelnen Aufgaben fragen, ob meine gewählte Vorgehensweise richtig wäre (bevor ich mich an die Rechnung ranmache;-) ) 1. Gegeben sei die Schar von Funtkionen fk; k € R; mit a) Wählen sie einige geeignete Einsetzungen für k und Skizzieren Sie. Nennen Sie Unterschiede und Gemeinsamkeiten. Also bei dieser Aufgabe, so habe ich das zumindest verstanden, ist noch nach keiner Rechnung gefragt. Man wählt einfach am besten drei (oder reichen zwei) Einsetzugen für k, am besten keine Sonderfälle (sollte man die Sonderfälle hier schon erst mal angeben?) und nennt dann Gemeinsamkeiten (was hier Def.Bereich und Symmetrie schon mal sein müssten) und Unterschiede (wahrscheinlich Nullstellen, Extremstellen usw.). b) Überprüfen Sie die Behauptung, dass es für jede Einsetzung für k entweder Nullstellen oder Extremstellen gebe. Hier würde ich die Nullstellen erstmal ausrechnen. Dann wird bestimmt ein Term mit einer Wurzel rauskommen. Je nach dem was dann unter der Wurzel steht, macht man dann die Fallunterscheidung mit k (wählt man hier in jedem Fall k<0 und k>0, oder KÖNNTE es sich auch um eine Fallunterscheidung mit z.B k>-3 und k<-3 handeln...oder wird das erst in der nächsten Aufgabe gefragt?). Jedenfalls macht man das selbe mit den Extremstellen und dann müsste man rausbekommen, dass z.B. für k>0 keine Nullstellen existieren dafür aber Extremstellen..und für k<0 genau umgekehrt. c) Treffen Sie eine geeignete Fallunterscheidung und ergänzen Sie ggf. die Lösungen zu a) . also bei dieser Aufgabe habe ich denk ich mal meine ersten größeren Probleme. Ich würde das jetzt so machen, dass sich meinen Term, den ich bei b) für die Nullstellen raushabe, nehme und dann den Term unter der Wurzel > und = Null setze....obwohl eigentlich müsste ich ihn ja nur gleich null setzen, da ja gelten könnte k=0. (spätesten hier müsste ich doch eigentlich schon meine Sonderfälle haben, oder? )... jedenfalls bekomme ich dann ja Zahlen raus. Sind das dann erstmal meine Sonderfälle? Die Fallunterscheidung wäre dann doch, dass k größer und kleiner als diese Zahlen sein muss!? Kann ich eigentlich...oder muss ich vielleicht sogar...den Term für die Extremstellen nehmen? Und was heißt dieses "ergänzen Sie ggf. die Lösungen zu a)" ? Wenn meine Skizzen bei a) Sonderfälle wären, dann hätte ich das doch gemerkt! Heißt das vielleicht, dass ich ggf. mehr Skizzen zeichnen muss als die drei bzw. zwei...da es auch mehr Fälle geben könnte? Die Arbeit hat noch einen zweiten Teil mit vier weiteren Teilaufgaben (nur damit ihr in etwa einschätzen könnt, wie viel Zeit auf jede aufgewendet werden sollte)...aber die schreib ich besser später rein, denn sonst wird das erstmal zu viel. |
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| 04.11.2006, 12:25 | PG | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
| RE: Klausur Hi Gehen wir die Fragen nacheinander durch:
Bestimme den Definitionsbereich! |
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| 04.11.2006, 18:12 | richardo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Okay, Es gilt: D=R* für k€R |
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| 04.11.2006, 18:31 | richardo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Wenn da schon in der Aufgabe steht k€R...sind damit Sonderfälle schon von vornerein ausgeschlossen? |
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| 04.11.2006, 18:34 | richardo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Moment mal....wofür brauche ich denn bei a) überhaupt den Definitionsbereich? Ich denke es geht nur um k? |
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| 04.11.2006, 18:53 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Ich würde ja mal behaupten, dass im Falle k = 0, k = 2 die Funktion die Gerade y=x ist und für alle anderen Fälle nähert sich die Funktion dieser Geraden Asymptotisch. Dabei wäre zu betrachten, was sich für pos und neg. k-Werte verändert. Damit sind auch die Intervalle klar, aus denen man eine Beispielfunktion zeichnen sollte. |
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| 04.11.2006, 18:59 | richardo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Könnten wir bitte die Reihenfolge beibehalten? Gehört das, Tigerbine, was du gerade geschrieben hast zu Teil a)? |
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| 04.11.2006, 19:00 | richardo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Und wie kommst du eigentlich überhaupt auf diese "Annahme"? Also was hast du dazu berechnet? Oder hast du zufällig was eingesetzt? Bekommt man dass mit y=x nicht erst bei c)? |
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| 04.11.2006, 19:01 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Ja, du sollst doch funktionen zeichnen. Wenn ich Beispiele sinnvoll auswählen will, dann muss ich eben schon etwas über die Funktion wissen. Ich dachte, dass dir deswegen die Funktion in dieser Darstellung angegeben ist. |
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| 04.11.2006, 19:07 | richardo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
hmm...also ich dachte, bei a) soll ich erst einmal nur ausprobieren...und nichts besonderes rechnen...denn immerhin soll ich erst bei c) ergänzen. Also du würdest bei a) schon deine Einsetzungen für k rechnerisch untermauern? aber für k=0 und k=2 Sonderfall brauchst du doch erst deine Nullstellenberechnung...und die kommt doch erst bei b). Menno...ich werd das nie verstehen 
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| 04.11.2006, 19:10 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Nein, nich weinen 
ein geübtes Auge sieht einfach mehr. Du kannst irgenwelche Werte nehmen, es sollte als Tipp gemeint sein, welche davon nützlich sein können, um die Eigenschaften der funktion gut zu erkennen.Es stand halt im Test "geeignet". Und einsetzten darf man alle 
Also wähle mit Mut ein paar aus, zeichen die Graphen und weiter gehts 
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| 04.11.2006, 19:10 | derkoch | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
kleiner tip, als ergänzung: bei solchen aufgaben, wo du etwas selber "aussuchen" sollst, schadet es nie die fälle für 0, 1,2 und -1,-2 zu untersuchen! 
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| 04.11.2006, 19:17 | richardo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
aaahh!
Gut habe verstanden, wie du sofort auf k=2 und k=0 kommst! 
Gut...also erst bestimme ich Def.Bereich und Sonderfälle und dann zeichne ich drei Graphen... vielleicht einmal für k zwischen 2 und 0 (z.B. 1), einmal für k kleiner als 0 z.B. -1...und einmal für k größer als 2, z.B. 3?! Aber was soll ich denn dann bei c) noch ergänzen? |
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| 04.11.2006, 19:25 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Es wird auch leute geben, die k nicht geschickt auswählen, und die müssen dann noch was ergänzen. |
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| 04.11.2006, 19:27 | richardo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
also drei Graphen sind dann gut? Oder reichen zwei? |
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| 04.11.2006, 19:34 | richardo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Und meine Vorgehensweise bei c) müsste doch richtig sein, oder? Ich rechne die Nullstelle erstmal aus. da hab ich dann unter der Wurzel stehen: k(k-2) und das setze ich dann was ich ja auch machen darf, da gilt k ungleich 0. So und jetzt hab ich da raus: ist das erstmal überhaupt so richtig (insbesondere die Richtung der Pfeile)? und dann heißt meine Fallunterscheidung also k>0 k<0 k>2 oder wie? |
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| 04.11.2006, 19:45 | derkoch | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
ein paar kleine schaubilder dazu: |
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| 04.11.2006, 19:52 | richardo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Jetzt hast du den Sonderfall doch reingenommen...also soll man das doch machen? Oder nicht? Und was für Einsetzungen hast du denn jetzt gewählt? |
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| 04.11.2006, 19:53 | derkoch | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
nur damit du siehst was sache ist!
wie die ganzen sachen so aussehen usw... |
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| 05.11.2006, 01:01 | PG | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Hi Ich erklär dir wie du vorgehen musst, damit du ein Muster hast, sonst werden wir nie fertig, wenn der eine da ist und der andere nicht! Aber erst mal eine Frage:
War der Definitionsbereich für x schon im Arbeitsblatt angegeben? Wenn ja, dann musst du in Zukunft das auch angeben, weil ohne das würden wir die Aufgabe nicht entsprechend lösen. Wenn du den Definitionsbereich bestimmt hast, dann ist ein Fehler enthalten, denn nur Null ist eine Definitionslücke und daher würden die negativen reelen Zahlen dazugezählt. Nun zu Unterschiede und Gemeinsamkeiten: Die Funktion hat einen ganzrationalen Anteil (x) und einen gebrochenrationalen Anteil(der Bruch). Der Parameter k ist im Zähler des gebrochenrationalen Anteil und das k mit jeden bestimmten Element der Menge bestimmt einen entsprechenden Verlauf des Graphen. Daher muss man mit k "spielen". Hier kann man das k ausklammern und das machen wir auch, damit es uns einfacher fällt, wie k den Verlauf des Graphen beinflusst Jetzt kann man 4 Fälle unterscheiden: 1. k=0 und k=2 ( also du musst schauen, wann der Zähler Null wird. Einmal durch und einmal durch ) 2. k> 2 3. k< 0 4. 0<k<2 1-Definitionslücke ist und bleibt 0. Dann schaust du einfach nach, bei welchen dieser Fällen es eine Polstelle hat und ob es mit VZW oder ohne VZW(Vorzeichenwechsel) ist oder ob es vielleicht sogar eine behebbare Lücke besitzt. 2-In welchen Fällen besitzt es Nullstellen? Die ganze Sache kann man vereinfachen, wenn man von vornherein prüft, ob es für jeden Fall eine elementare Symmetrie(Achsensymmetrie oder Punktsymmetrie zum Ursprung) vorliegt. Zu deiner vorherigen Frage, wie viele Graphen man zeichnen sollte: Es ist für jede andere Funktion unterschiedlich. Hier müsstest du 4 Graphen zeichnen, wobei eigentlich der 2. und 3. Fall gleich sind, solange man die Differenz beachtet. Ich zeige dir jetzt jeden Fall: 1. Fall mit k=0 2. Fall mit k=3 3. Fall mit k=-1 4. Fall mit k=1 edit: Damit müsstest du jetzt a), b) und c) lösen können |
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| 05.11.2006, 10:01 | richardo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
guten Morgen PG! erst einmal vielen herzlichen Dank für deine ausführliche Hilfe!!! aber da sind noch einige Sachen: 1.Den Definitionsbereich hab ich selber bestimmt! Und D=R* heißt doch alle reelen Zahlen vermindert um Null! Das ist doch richtig oder nicht? 2.Und wann mach ich das mit den Polstellen? Bei a) oder? 3.Und wie ist das mit dem was ich gemacht habe? Bei b)? War das so richtig? Da mach ich doch auch noch mal eine Fallunterscheidung mit den Zahlen die rauskommen.... also das was rauskommt sind auch gleichzeitig die Sonderfälle...und dann macht man eine Fallunterscheidung mit einmal ist k größer und einmal ist k kleiner als diese Zahlen...hab ich das richtig verstanden? 4.Bei deinen Graphen hast du das jetzt also so gemacht, dass du einmal eine Zahl genommen hast die über den Sonderfällen liegt, einmal dazwischen, einmal darunter und einmal der Sonderfall selber ist...richtig? |
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| 05.11.2006, 10:17 | richardo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Wie ist das denn mit den hebbaren Def.Lücken? habe ich nur bei den Sonderfällen eine hebbare def.lücke? Wenn dann muss doch eine hebbare def.lücke für alle meine Graphen gelten, oder? Oder muss das nicht zwingend so sein? |
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| 05.11.2006, 10:20 | richardo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
also das mit den hebbaren def.lücken bei den Sonderfällen mein ich natürlich für x=0! |
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| 05.11.2006, 11:00 | richardo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Wie mache ich das eigentlich mit den Asymptoten? Also man sieht ja sofort, dass y=x gilt... aber wie unterlege ich das rechnerisch? So wird es ja kaum klappen: denn dann würde ja rauskommen y=unendlich aber es strebt ja nur der Bruch gegen unendlich...bzw. gegen null! Wie soll ich das denn darstellen? Die Funktion aufteilen? In etwa so: au waia...ich befürchte den ganzen Tag noch heute hier zu sitzen...hoffe ich nerve euch nicht;-) |
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| 05.11.2006, 12:56 | richardo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
habt ihr mich vergessen?
...bitte nicht! |
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| 05.11.2006, 13:21 | PG | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Hi Richardo Vergessen haben wir dich nicht, nur die Antwort habe ich gestern Nacht geschrieben
Teilweise, denn die negativen Zahlen kannst du auch einsetzen, aber hier gelten nur die positiven Drück das so aus Das heisst dann alle reelen Zahlen außer Null. Das "ohne" soll ein Schrägstrich sein ,also " \ "
Du musst bestimmen , ob es Polstellen hat oder nicht. Polstellen hat es dann, wenn die Definitionslücke im Nenner ( als Nullstelle) öfters vorhanden ist als im Zähler.
Du sollst die Behauptung, dass für JEDES k entweder Nullstellen oder Extremstellen vorhanden sind, zeigen oder widerlegen. Diese Aussage stimmt für zwei Fälle nicht, nämlich k=0 und k=2, denn dann haben wir eine Gerade mit einer hebbaren Lücke. Hebbare Lücken hast du dann, wenn im Zähler die Definitionslücke gleich oft oder mehr vorhanden ist, als im Nenner! Setz einfach Nenner gleich Null, dann hast du Definitionslücke Null. Setze dann Zähler gleich Null und dann hast du als Nullstelle auch Null. Also kommt die Definitionslücke im Zähler gleich oft vor wie im Nenner, daher ist es eine hebbare Lücke und für diese k's hat es keine Nullstellen und keine Extrempunkte
Ich weiß zwar wie du das meinst, aber wie du es ausdrückst ist falsch, denn wir haben nicht EINEN Sonderfall, sondern mehrere, nämlich 3 (4). Aber wie du es denkst, ist schon richtig, denn du meinst ,dass ich einfach Zähler gleich Null gesetzt habe und was da rauskommt, bezeichnet du als Sonderfall, k=0 und k=2. Die beiden k's sind zwar EIN Sonderfall, aber die anderen auch. Dann hast du richtig gesagt, dass ich k's zwischen ihnen, über ihnen, unter ihnen und sie selbst (entweder k=0 oder k=2- macht keinen Unterschied) nehme
Asymptoten stellst du so dar, wie du es gemacht hast, also: Dann bleibt als Asymptote da der Bruch Null wird und das x, als ganzrationalen Anteil, lässt man so |
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| 05.11.2006, 13:46 | richardo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Wäre schon fast in Panik geraten...immerhin ist das erst der erste teil der Klausur
Also, soll ich das bei b) jetzt so machen: für k>0 und k>2 gibt es Nullstellen für k<0 keine und 0<k<2 gibt es keine?!??! Und dann müsste es bei den Extremstellen so aussehen: für k>0 und k>2 gibt es keine Extremstellen für k<0 gibt es welche und 0<k<2 gibt es auch welche?
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| 05.11.2006, 13:56 | PG | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Nicht ganz- Schau dir meine Zeichnungen genau an und die k's, denn sonst wird es schwer zu verstehen... und mach es folgendermaßen- Für 0<k<2 gibt es Extremstellen, aber keine Nullstellen Für k<0 und k>2 gibt es Nullstellen, aber keine Extremstellen Für k=2 und k=0 gibt es keine Nullstellen und keine Extrempunkte, also stimmt die Behauptung nicht! |
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| 05.11.2006, 13:57 | richardo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Und das mit der Asymptote kann man wirklcih so machen? Denn streng genommen, strebt das allein stehende x ja gegen unendlich! Und D=R* bedeutet doch: alle reelen Zahlen außer null! Das ist sozusagen die Faulenzerschreibweise dafür;-) |
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| 05.11.2006, 14:05 | richardo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
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an dem Graphen sieht man das ja auch...aber wie mache ich das denn rechnerisch? Ich dachte es wäre richtig, wenn ich das halt so mache: erstmal rechne ich die Nullstelle aus...die ist ja: bzw. mal minus eins! und jetzt muss doch das unter der Wurzel größer sein als 0, damit die Wurzel auch gezogen werden kann. Wenn ich also mache: hab ich raus: k>0 und k>2 und dann muss es doch erst mal schon heißen, dass es für diese Einsetzungen für k Nullstellen gibt. Wieso hast du denn jetzt raus, dass es für k>0 keine Nullstellen gibt?...das widerspricht sich doch schon in sich...den k>2 ist ja auch automatisch k>0! |
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| 05.11.2006, 14:20 | richardo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Oh mein gott....ich werde morgen einen Unterkurs schreiben! Jetzt hab ich das gleiche mit den Extremstellen versucht: und jetzt erstmal die erste Ableitung 0 setzen: und halt das minus davon und dann muss ja wieder der Term unter der Wurzel größer als null sein (gleich null kann ausgeschlossen werden, da das ein Sonderfall ist!) -k²+2k>0 und dann kommt ja schon wieder raus: k>0 und k>2! Das kann ja jetzt nun wirklich nicht sein
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| 05.11.2006, 15:21 | PG | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
So erstmal will ich wissen, ob ihr schon Ableitungen hattet? Also die Quotientenregel? |
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| 05.11.2006, 15:22 | richardo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
ja, die hab ich doch auch angewendet 
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| 05.11.2006, 15:41 | PG | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Also du machst es rechnerisch einfach mit der Ableitung. Wo liegt da das Problem? Aber die Behauptung kannst sofort am Anfang schon widerlegen, nämlich mit k=0 und k=2. Die haben keine Nullstellen und keine Extremstelle und schon ist die Behauptung widerlegt, denn die Behauptung war ja, dass für jede Einsetzung von k eine Nullstelle oder ein Extrempunkt vorhanden ist, doch bei dem Fall ist es nicht so und schon ist die Aufgabe gelöst. |
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| 05.11.2006, 15:45 | richardo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Aber du hast doch raus: Für 0<k<2 gibt es Extremstellen, aber keine Nullstellen Für k<0 und k>2 gibt es Nullstellen, aber keine Extremstellen Für k=2 und k=0 gibt es keine Nullstellen und keine Extrempunkte, also stimmt die Behauptung nicht! und ich habe nach meiner Methode raus: für k>0 und k>2 gibt es Extremstellen UND Nullstellen! Nichts mit ODER! Und außerdem komme ich mit meiner Rechnung gar nicht darauf, was in dem Bereich 2>k>0 los ist! |
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| 05.11.2006, 15:47 | richardo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Außerdem stimmt bei dir die Behauptung, wenn man die Sonderfälle außer Acht lassen würde...bei mir würde sie dann aber immer noch nicht zutreffen... |
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| 05.11.2006, 15:50 | PG | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Oh man es fällt mir echt schwer es dir zu erklären oder du liest es dir nicht durch. Ich habe gleich keine Lust mehr...sry
Das hast du nach DEINER Methode und die ist falsch. Wie kommst du auf diese "Methode"? |
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| 05.11.2006, 15:54 | richardo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
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nein sag das nicht! Ich schreibe morgen doch eine Klausur! Ich weiß ja das meine Methode falsch ist...nur was ist daran falsch? Ich hab sie doch extra zwei mal reingeschrieben.... ich muss es doch irgendwie rechnerisch beweisen...deshalb hab ich angenommen, dass es Nullstellen nur gibt wenn der Term unter der Wurzel größer ist als Null...und dementsprechend hab ich die Fallunterscheidung... und du hast es mit dem Graphen erklärt...was ich auch verstehe...und was auch bestimmt richtig ist...aber es ist halt kein rechnerischer Weg! |
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| 05.11.2006, 15:57 | richardo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
hier nochmal meine "Methode" für die Nullstellen:
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| 05.11.2006, 16:05 | richardo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Das mit "widerspricht" sich mein ich übrigens zu meinem Ergebnis nicht zu deinem...hab ich da missverständlich formuliert. |
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