Ringintegral über Kreis

05.07.2010, 13:06	Hennry1	Auf diesen Beitrag antworten »
Ringintegral über Kreis Hallo, ich stell mich gerade total dämlich an. Ich möchte das Ringintegral um einen Kreisberechnen. Da kommt ja einfach der Umfang raus. Aber wie mache ich das formal? Die Kurve ist ja: $\begin{eqnarray} \vec r=(r\cos \varphi,r\sin \varphi)^T \end{eqnarray}$ mir r fest, und phi zwischen 0 und 2 pi. Dann ist $\begin{eqnarray} d\vec r=r(-\sin \varphi,\cos \varphi)^T \end{eqnarray}$ Aber was muss ich jetzt weiter machen?
05.07.2010, 13:22	Cel	Auf diesen Beitrag antworten »
Du kannst hier einen Spezialfall der Transformationsformel nutzen. Sagen wir mal, der Kreis wäre $\begin{eqnarray} B := \{(x,y) \| x^2 + y^2 = r^2\} \end{eqnarray}$ . Jetzt möchtest du folgendes berechnen: $\begin{eqnarray} \int_{B}\! 1 \; d(x,y) \end{eqnarray}$ . Wenn du unbedingt ein Wegintegral nehmen möchtest - auch kein Problem. Dann berechnest du $\begin{eqnarray} \int_{\gamma} \! 1 \; ds \end{eqnarray}$ einfach nach der Formel aus dem Wikiartikel. Dabei wäre $\begin{eqnarray} \gamma(t) := (r \cos(t), r \sin(t))^T, \; t \in [0, 2\pi] \end{eqnarray}$
05.07.2010, 13:25	Hennry1	Auf diesen Beitrag antworten »
Also ich würde das Wegintegral schon gerne direkt berechnen. Über einen Vektor habe ich damit auch kein Problem. Da fällt das ja das Vektorielle durch das Skalarprodukt weg. Aber wie mache ich das ohne einen Kraftvektor?
05.07.2010, 13:37	Cel	Auf diesen Beitrag antworten »
Lies dir noch mal den Artikel durch. Wenn du die Länge von $\begin{eqnarray} \gamma \end{eqnarray}$ berechnen möchtest, musst du das mit einem Wegintegral 1. Art machen - wo hinten $\begin{eqnarray} ds \end{eqnarray}$ steht. Du sprichst von einem Wegintegral 2. Art. Bei dem Integral, was du hier berechnen möchtest, brauchst du kein Skalarpdoukt.
05.07.2010, 13:43	Hennry1	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Formulierung auf Wiki ist leider ein Wenig kryptisch. Aber wie ich das jetzt verstehe bildet man den Betrag des Vektors und integriert diesen über das t. So kommt es auch hin.
05.07.2010, 13:45	Cel	Auf diesen Beitrag antworten »
Fast richtig. Man bildet den Betrag der Ableitung des Vektors. Aber hier spielt das für das Ergebnis keine Rolle.
Anzeige

05.07.2010, 13:47	Hennry1	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank in meiner Formelsammlung steht es auch besser sehe ich gerade. Auf Wiki hat mich dieser Doppelte Betrag und die 2 rechts unten irritiert. Was stellt das eigentlich dar?
05.07.2010, 13:52	Cel	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist die Schreibweise für die euklidische Norm, also $\begin{eqnarray} \\|x\\|_2 := \sqrt{\sum_{i=1}^n \; x_i^2}, \; x = (x_1, \dots, x_n) \in \mathbb{R}^n \end{eqnarray}$ Also die ganz "normale" Norm, die du auch sofort nehmen würdest, intuitiv.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »