x^3 = 3 - keine Lösung in Q |
| 05.07.2010, 14:55 | Matheversteher | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| x^3 = 3 - keine Lösung in Q ich sietze vor der aufgabe in der ich zeigen oder begründen soll, dass x^3 = 3 in Q keine lösung hat. ich habe angefangen, dass ich x^3=3 durch ersetzt habe. nun weis ich aber nicht wie ich weiter argumentieren soll. evtl über die primfaktor zerlegung? aber auch hier wüsste ich dann nicht wie ich argumentieren soll. ich hoffe ihr könnt mir helfen gruß flo |
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| 05.07.2010, 15:11 | Nubler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
eisenstein wär des schnellste alternativ, wenn dir des net zur verfügung steht: wie schaut die primzahlzerlegung von a und b aus? was kann man also über die primzahlzerlegung von a^3 und 3*b^3 sagen? |
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| 05.07.2010, 15:32 | Matheversteher | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
ich glaube eisenstein haben wir nicht gemacht (wäre aber nett wenn du das bei gelegenheit erläutern könntest 
s)also die primfaktorzerlegung. wenn ich mir das so bildlich deutschlich mache denke ich bei ^3 an einen würfel. und wenn ich dann b^3 bzw a^3 in primfaktoren zerlege, so kommt jede primzahl dreimal so häufig vor in einem a bzw b (ich hoffre du weist was ich meine) also hat man in a die primzahlen p1 und p2, so hat man in a^3 glaube ich die primzahlen p1^3 und p2^3 (stimmt das jetzt so ich bin etwas skeptisch). so und jetzt muss man aber bestimmt noch i-wie mit der 3 argumentieren die nach äquivalenzumformung bei b^3 steht (3*b^3) aber genau hier ist der haken wenn ich es mit der primfaktorzerlegung machen möchte. wie argumentiere ich da? wird durch die 3 etwa die eindeutigkeit der primfaktorzerlegung verletzt? aber wenn ja, fehlt mir auch hier wieder die argumentation warum sie verletzt wird 
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| 05.07.2010, 15:34 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: x^3 = 3 - keine Lösung in Q Du kennst doch sicher den Beweis dafür, dass in Q keine Lösung hat. Den kannst du auf dein Problem übertragen. Du darfst o. B. d. A. annehmen, dass a/b ein vollständig gekürzter Bruch ist. Nimm deine Gleichung mit b^3 mal. Du bekommst: Die rechte Seite ist durch 3 teilbar. Daraus folgt ... Und daraus folgt ... Widerspruch! |
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| 05.07.2010, 16:37 | Matheversteher | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
ja kenne ich, diesen beweis haben wir in unserer vorlesung gehabt. ich habe ein bild angehangen mit dem beweis. so wenn ich das dann auf diesem beweis anwende, heißt es dann, dass jeder primfaktor 0, 3, 6 ... mal vorkommen kann. da aber eine 3 hinzu multipliziert wird, kommt die drei nicht 0,3,6... mal vor (sondern 1,2,4,5,....). das steht imwiederspruch zu eindeutigkeit der primfaktorzerlegung, weshalb es keine lösung in Q gibt?!
stimmt das so oder ist es falsch und ich habe zu einfach gedacht? |
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| 05.07.2010, 16:49 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das ist nur fast richtig. 2 mal oder 5 mal oder allgemein 3n + 2 mal kann der Faktor 3 auf der rechten Seite nicht auftreten. Die linke Seite hat den Faktor 3 3m mal, die rechte Seite 3n + 1 mal und das ist der Widerspruch, weil 3m micht gleich 3n +1 sein kann. Bei dieser Form des Beweises wird nocht nicht mal benutzt, dass man a und b teilerfremd wählen kann. |
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| 06.07.2010, 16:37 | Matheversteher | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
boa Huggy das ist mir grad mal etwas zu "abgespacet" aber erstmal danke, dass du mir die begründung geliefert hast
aber was ich nicht verstehe sind die folgenden beiden aussagen
und wie kommst du dann auf das?
die beiden punkte verstehe ich nicht, wenn man hier startet (das hier ist mir klar, das ist eine äquvalente umformung der gleichung,die erfüllt sein sollte, damit in Q eine Lösung existiert. tut es aber nicht, da es ja, wie wir wissen keine lösung gibt.) |
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| 06.07.2010, 17:01 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Diese Fragen sollten dir echt peinlich sein!!! a wird den Faktor 3 in irgendeiner Anzahl enthalten und die habe ich mal m genannt. Dann enthält a^3 den Faktor 3 3m mal. b wird den Faktor 3 in irgendeiner Anzahl enthalten und die habe ich mal n genannt. Dann enthält b^3 den Faktor 3 3n mal. Dann enthält 3*b^3 den Faktor 3n + 1 mal. |
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| 06.07.2010, 17:48 | Matheversteher | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
musst wohl grad deine überlegenheit zur schau stellen 
. und NEIN mir ist diese Frage kein Stück peinlich!!!ich danke dir, dass du dich doch dazu überwinden konntest mir deine gedankengänge mitzuteilen 
jetzt habe ich es verstanden. gruß flo |
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