Bedingte Wahrscheinlichkeit von Partikeln

05.07.2010, 20:12	Justus	Auf diesen Beitrag antworten »
Bedingte Wahrscheinlichkeit von Partikeln Hi, ich hab hier einen Aufgabentext den ich nicht ganz verstehe. Aufgabe: Die Wahrscheinlichkeit das n Partikel von einer Quelle S in einem Zeitraum (0,T) emittiert werden lautet: $\begin{eqnarray} P_n=\frac{\mu^n}{n!}e^{-\mu} \end{eqnarray}$ Zwischen der Quelle und einem Kollektor existiert ein Mechanismus der Partikel absorbiert. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Partikel absorbiert wird beträgt A. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Partikel den Absorber passiert und den Kollektor erreicht beträgt 1-A. Die Absorption und das Passieren des Absorbers sind statistisch unabhängig. (1) Angenommen es wurden n Partikel emittiert. Wie lautet die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass exakt k Partikel den Kollektor erreichen? (0 < k < n ) (2) Benutze das Prinzip der totalen Wahrscheinlichkeit um die totale Wahrscheinlichkeit zu bestimmen das exakt k Partikel den Kollektor erreichen. Bedenke, damit dies möglich ist müssen mindestens k Partikel emittiert werden. ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Ich verstehe nicht warum man (1) überhaupt mit bedingter Wahrscheinlichkeit lösen soll? Ich weiß doch schon das n Partikel emittiert wurden. Dann kann ich doch schreiben: $\begin{eqnarray} P(k)=\binom{n}{k} (1-A)^k A^{n-k} \end{eqnarray}$ So war das aber wohl nicht gedacht. Der Ansatz für (1) bringt mich auch nicht bei (2) weiter. Wäre toll wenn mir jemand einen Tipp geben könnten.
06.07.2010, 10:05	karlheinz	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi Justus, Die Zufallsgröße, die für die Anzahl der emittierten Partikel im Intervall $\begin{eqnarray} (0,T) \end{eqnarray}$ steht, nennen wir mal $\begin{eqnarray} S \end{eqnarray}$ . Dann soll S Poisson-verteilt mit Intensität $\begin{eqnarray} \mu \end{eqnarray}$ sein. $\begin{eqnarray} S \sim \Pi_\mu \end{eqnarray}$ Sei $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ die Anzahl der Partikel, die an dem Kollektor ankommt. Die Absorption der Partikel folgt einer Bernoulli verteilung $\begin{eqnarray} B_{n,(1-a)} \end{eqnarray}$ , wie Du schon richtig geschrieben hast. zu (1): Wie viele Partikel absorbiert werden ist, natürlich davon abhängig, wie viele Partikel erst einmal emmitiert werden. Wenn Du die Anzahl bereits weißt, ist die bedingte Wahrscheinlichkeit wie Du geschrieben hast: $\begin{eqnarray} P(X=k\ \|\ S=n) = B_{n,(1-a)}(k) \end{eqnarray}$
06.07.2010, 10:48	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
Und zu (2): Dazu musst du nur obiges P(k) mit der Wahrscheinlichkeit der Emission von n Partikeln multiplizieren und das für n = k, k + 1, k + 2, ... aufsummieren. Die entstehende Reihe ist geschlossen summierbar.
12.07.2010, 21:20	Justus	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi Tut mir leid das ich erst jetzt antworte, aber das mit der Summe bekomme ich nicht hin. Mit einer einfachen geometrischen Reihe geht das wohl nicht. Was mach ich denn mit Fakultät. $\begin{eqnarray} P(k) = \sum\limits_{n=k}^{\infty} P(k\|n) P(n) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} P(k) = \sum\limits_{n=k}^{\infty} \binom{n}{k}(1-A)^k A^{(n-k)} \frac{\mu^n}{n!} e^{-\mu} \end{eqnarray}$ Danke für die Hilfe
13.07.2010, 07:52	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist doch nicht schwer! Zuerst ziehst du alle Faktoren, die nicht vom Summationsindex n abhängen, vor die Summe. Den Binomialkoeffizienten schreibst als Quotient von Fakultäten hin. Dann kürzt sich n! aus dem Zähler gegen die n! der Poissonverteilung weg. Das k! im Nenner kann auch vor die Summe gezogen werden. Jetzt machst du eine Indexverschiebung, damit die Summation mit n = 0 beginnt. Danach kann ein weiterer Term vor die Summe gezogen werden. Die verbleibende Reihe ist eine der bekanntesten Reihen, allerdings nicht die geometrische Reihe.
13.07.2010, 19:41	Justus	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} P(k)=\sum\limits_{n=k}^{\infty } \frac{n!}{(n-k)!k!} (1-A)^k A^{n-k} \frac{\mu^n}{n!} e^{-\mu} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} P(k)=e^{-\mu} (1-A)^k \frac{1}{A^k k!} \sum\limits_{n=k}^{\infty } \frac{1}{(n-k)!} A^{n} \mu^n \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} P(k)=e^{-\mu} (1-A)^k \frac{1}{A^k k!} A^k \mu^k \sum\limits_{n=0}^{\infty } \frac{1}{n!} A^{n} \mu^n \end{eqnarray}$ Exponentialreihe: $\begin{eqnarray} e^x = \sum\limits_{n=0}^{\infty } \frac{1}{x!} x^n \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} P(k)=(1-A)^k \frac{\mu^k}{k!} e^{\mu(A-1)} \end{eqnarray}$ Ist das richtig?
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13.07.2010, 19:58	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist richtig! Noch etwas schöner schreibt man in den Exponenten der e-Funktion ein Minuszeichen und dafür 1 - A in die Klammer. Dann sieht man, dass da wieder eine Poissonverteilung steht mit $\begin{eqnarray} \hat \mu= (1-A)\mu \end{eqnarray}$

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