Lot auf Ebene

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Woly Auf diesen Beitrag antworten »
Lot auf Ebene
Hallo Zusammen;

Wie kann ich hier vorgehen?
Stellen sie eine vektorielle Gleichung der Ebene auf, zu der der Ortsvektor r(P1)=
(1;0;-2) das Lot bildet. Schreiben sie dann den erhaltenen Ausdruck als Ebenengleichung in Koordinatenform?

Vielen lieben Dank für eine Antwort
Ehos Auf diesen Beitrag antworten »

Angenommen der Vektor ist das Lot auf einer Ebene. Gesucht sind alle Ortsvektoren dieser Ebene. Dann ist anschaulich klar, dass alle Differenzvektoren senkrecht auf dem Lot stehen müssen, also



Das ist die gesuchte Ebenengleichung. Man schreibt oft einfacher

 
 
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lot auf Ebene
die koordinatenform ist

der normalenvektor diese ebene ist .
Woly Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lot auf Ebene
Ist der Normalenvektor dann:

n=(-1,0,2)?
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lot auf Ebene
Zitat:
Original von Woly
Ist der Normalenvektor dann:

n=(-1,0,2)?


ja.

aber schau die mal ehos beitrag auch noch an, der liefert gleich die berechnung des b der koordinatenform mit.
Ehos Auf diesen Beitrag antworten »

Der Normalvektor ist derjenige Vektor der senkrecht auf der Fläche steht. Also sind die Begriffe "Lot" und "Normalvektor" identisch. Meist normiert man den Normalvektor noch auf die Länge 1.

Beide Vektoren und stehen senkrecht auf der Fläche. Sie unterscheiden sich nur im Vorzeichen und sind demnach beide Normalvektoren. Normiere noch auf die Länge 1.
Woly Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt fehlt doch eigentlich nur noch eine Punkt. Den kann ich mit der Länge des Betrages von P1 ermitteln?
Danach addiere ich zu dem Betrag jeweils x=1 y=0 und z=-2 und erhalte einen neuen Punkt. Mit diesem kann ich dann die Ebenengleichung aufstellen? Richtig?
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Ehos
Das ist die gesuchte Ebenengleichung. Man schreibt oft einfacher

mYthos Auf diesen Beitrag antworten »
Hoppala!
Zitat:
Original von Ehos
Angenommen der Vektor ist das Lot auf einer Ebene. Gesucht sind alle Ortsvektoren dieser Ebene. Dann ist anschaulich klar, dass alle Differenzvektoren senkrecht auf dem Lot stehen müssen, also



Das ist die gesuchte Ebenengleichung. Man schreibt oft einfacher



Oha! Da ist was danebengegangen. Woher hast du denn das? So eine Gleichung habe ich noch nie gesehen.
Sie ist nämlich schlicht und ergreifend falsch. Vergessen wir also das Ganze.

Die Vektoren und stehen im Allgemeinen NICHT aufeinander senkrecht, wenn einen Normalvektor und einen Ortsvektor zu einem beliebigen Punkt X der Ebene bedeuten. Vielmehr gilt

, wenn einen Stützpunkt der Ebene bezeichnet. Daher lautet die Ebenengleichung richtig


___________________________

Rechnen wir das mal am Beispiel a = (4; 1; 5), P(2; 3; 4), dann lautet die (richtige) Ebenengleichung



Die Ebenengleichung nach Ehos würde im Gegensatz dazu lauten:



mY+
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist bezeichnend, dass keiner der Beteiligten (vor allem der Helfer) es der Mühe wert gefunden hat, auf den Fehler Bezug zu nehmen, obwohl alle drei per PN angeschrieben wurden.

Das sehe ich nicht gerade als die feine Art.

mY+
Ehos Auf diesen Beitrag antworten »

@Mythos:
Unsere Meinungsverschiedenheit beruht auf der unterschiedlichen Definition des Begriffes "Lot": Ich habe (vielleicht nicht ganz korrekt) den Stützvektor , der vom Nullpunkt (0|0|0) senkrecht auf die Ebene zeigt und diese berührt, als "Lot" bezeichnet. Die Ebenengleichung der zugehörigen Ebene lautet dann, wie ich richtig schrieb, oder einfacher



Mitunter wird der Vektor auch als Stellungsvektor oder Stützvektor bezeichnet. Und natürlich stehen alle Differenzvektoren , die innerhalb der Ebene liegen, senkrecht auf dem Vektor . Das ist ja gerade der Witz der Sache.

Ich würde mich über solche Sachen nicht so aufregen. Du suchst überall das Haar in der Suppe. Ich vermute mal, du bist ein pensionierter Lehrer. Stimmt das?
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Ehos
...
Ich würde mich über solche Sachen nicht so aufregen. Du suchst überall das Haar in der Suppe. Ich vermute mal, du bist ein pensionierter Lehrer. Stimmt das?


So kann man es auch machen. Statt den eigenen Fehler einzugestehen, lieber einen Frontalangriff auf den Kritiker starten.

Ich sehe das allerdings anders. Deine Rechnung führt ja auf ein definitiv falsches Ergebnis. Ich habe dies ja auch gezeigt, dass die Ebenengleichug falsch wird, wenn man sie mit deiner Methode berechnet. So gesehen ist das ein eklatanter Fehler und wirklich nicht ein "Haar in der Suppe", wogegen ich mich in diesem Zusammenhang übrigens ausdrücklich verwahre. Deine Vermutung " .. pensionierter Leher" trifft übrigens auch nicht zu (du hättest das Profil befragen können).

Stützvektoren gibt es unendlich viele und sie stehen in der Regel alle nicht normal auf die Ebene. In der gegenständlichen Aufgabe ist ein Normalvektor der Ebene nicht ausgerechnet jener, welcher von O ausgeht und die Ebene berührt, sondern ein beliebiger Normalvektor. Du müsstest ihn erst auf die Länge des Normalabstandes des Ursprunges von der Ebene bringen und dazu muss erst dieser Normalabstand berechnet werden (HNF).

mY+
Ehos Auf diesen Beitrag antworten »

Was du sagts mag richtig sein. Ich kann mich erinnern, dass wir in meiner Schulzeit den Begriff "Stützvektor" anders definiert haben als du.

Wie gesagt, unsere Meinungsverschiedenheit beruht offenbar darauf, dass wir die verwendetetn Begriffe untereinander nicht genau abgestimmt und definiert haben. Inhaltlich ist uns beiden aber wohl klar, was gemeint ist.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Dann zeige bitte mal, wie du mein o.a. Beispiel mit deiner Methode - allerdings ohne HNF - rechnen wolltest. Es müssten ja dann beide Ergebnisse gleich sein.

mY+
Ehos Auf diesen Beitrag antworten »

Die ursprüngliche Aufgabe von Woly lautete:
-------------------------------------------------------------
Stellen Sie eine vektorielle Gleichung der Ebene auf, zu der der Vektor (1|0|-2) das Lot bildet. Schreiben Sie dann den erhaltenen Ausdruck als Ebenegleichung in Koordinatenform.


Ich habe diese Aufgabe wie folgt verstanden:
---------------------------------------------------------------
Man soll die Ebenegleichung derjenigen Ebene aufstellen, die senkrecht auf dem Vektor (1|0|-2) steht und zwar derart, dass die "Pfeilspitze" dieses Vektors die Ebene berührt.


Lösung:
-----------
Wir bezeichnen den gegebenen Lot-Vektor mit und alle Punkte innerhalb der Ebene mit . Dann ist anschaulich klar, dass alle Differenzvektoren senkrecht auf dem gegebenen Vektor stehen müssen, also



oder einfacher



Einsetzen von liefert die gesuchte Koordinatengleichung der Ebene



Um auch die gesuchte vektorielle Ebenengleichung zu bekommen, sucht man 2 (nicht eindeutige) Vektoren, die senkrecht auf dem Lot-Vektor stehen und damit parallel zur Ebene liegen. Man findet z.B.




Diese 2 Vektoren spannen die Ebene auf. Da die Ebene den gegebenen Lot-Vektor enthalten soll, lautet eine mögliche Ebenengleichung



Hierbei sind frei wählbare Parameter.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Das stimmt nur dann, wenn auch ein Stützpunkt der Ebene dieselben Koordinaten wie der Normalvektor hat. Das ist ein seltener Spezialfall, welcher der Angabe nicht schlüssig zu entnehmen ist. Unter dieser Voraussetzung ist allerdings dein Ergebnis zu akzeptieren.

Leider entstand das Mißverständnis aus der unklaren Angabe.

Danke für deine Rechnung. Das von mir gegeben Beispiel wird natürlich so nicht zu rechnen sein.

mY+
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