Ungleichung von Verteilungsfunktionen

06.07.2010, 13:21

Cel

Ungleichung von Verteilungsfunktionen

Tagchen, ich habe mal wieder eine Frage, die mich mit meiner Bachelorarbeit beschäftigt - dieses Mal rein mathematisch. Vielleicht stehe ich mal wieder auf dem Schlauch, ich konnte mir den Sachverhalt bisher nur anschaulich klar machen.

Seien $\begin{eqnarray*} F_H(x) \text{ und } F_L(x) \end{eqnarray*}$ zwei Verteilungsfunktionen auf $\begin{eqnarray*} [\underline{x}, \bar{x}] := I \subset \mathbb R \end{eqnarray*}$ mit folgenden Eigenschaften:

$\begin{eqnarray*} F_H(x) > F_L(x) \text{ auf } I^0, \; F_H(x) = F_L(x) \text{ auf } \partial I \end{eqnarray*}$

Daraus schließt der Autor jetzt, dass die $\begin{eqnarray*} F_L \text{ - Verteilung} \end{eqnarray*}$ die "bessere" Verteilung ist, da die W', einen hohen x-Wert zu erhalten, höher ist als bei der $\begin{eqnarray*} F_H \text{ - Verteilung} \end{eqnarray*}$ (Hohe x-Werte sind in meinem Zusammenhang gut).

Wie gesagt, anschaulich ist mir das klar, schließlich müssen die beiden Verteilungsfunktionen bei $\begin{eqnarray*} \bar{x} \end{eqnarray*}$ auf der selben Höhe sein, deswegen ist die Steigung (also die W'dichte) von F_L nahe des Randes höher als die von F_H, denn sie müssen sich ja annähern und dann im selben Punkt landen.

Aber wie kann ich das streng mathematisch aufschreiben? Hab ich da wieder einmal eine Formulierung des Hauptsatzes nicht im Kopf?

Ich bin für jede Hilfe dankbar. Wink

06.07.2010, 14:43

Zellerli

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Sei $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ ein Punkt im Innern von $\begin{eqnarray*} I \end{eqnarray*}$ . (Man kann sich z.B. mal die "Mitte" vorstellen).
Dann ist natürlich $\begin{eqnarray*} F_H(x_0) > F_L(x_0) \end{eqnarray*}$ .
Dann gibt es einen Satz, der sagt, dass die Steigung der stetigen Funktionen $\begin{eqnarray*} F_H \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} F_L \end{eqnarray*}$ (also die Ableitung, die hier ja die Dichtefunktion ist), auf dem Intervall $\begin{eqnarray*} [x_0,\overline{x}] \end{eqnarray*}$ irgendwo den Wert $\begin{eqnarray*} \frac{F_H(\overline{x})-F_H(x_0)}{\overline{x}-x_0} \end{eqnarray*}$ (bzw. das ganze mit $\begin{eqnarray*} F_L \end{eqnarray*}$ ) "direkter Weg" annehmen muss. Ist im Grunde der Zwischenwertsatz für die Ableitung. Insbesondere ist dann ja die Steigung von $\begin{eqnarray*} F_H \end{eqnarray*}$ geringer als die von $\begin{eqnarray*} F_L \end{eqnarray*}$ .

Jetzt hast du als Werkzeug noch, dass die Dichtefunktion monoton steigend ist und du kannst den Punkt $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ natürlich rumschieben, wie du gerade lustig bist.

06.07.2010, 15:47

Cel

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Schon mal vielen Dank, Zellerli! smile

Ich bin jetzt ein Stück weiter, aber einige Sachen hätte ich noch. Ist der Satz, den ich anwenden soll, nicht der Mittelwertsatz der Differentialrechnung? Ich habe das jetzt so gemacht:

$\begin{eqnarray*} \exists\; \xi_1 \in (x_0, \overline{x}): f_H(\xi_1) = \frac{F_H(\overline{x})-F_H(x_0)}{\overline{x}-x_0} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \exists\; \xi_2 \in (x_0, \overline{x}): f_L(\xi_2) = \frac{F_L(\overline{x})-F_L(x_0)}{\overline{x}-x_0} \end{eqnarray*}$

Dabei sollen die kleinen f die jeweiligen Dichten sein. Jetzt schmeiss ich das zusammen und bekomme (Nenner kürze ich weg, Funktionswert bei $\begin{eqnarray*} \overline{x} \end{eqnarray*}$ identisch):

$\begin{eqnarray*} f_H(\xi_1) < f_L(\xi_2) \end{eqnarray*}$

Was bringt mir das jetzt konkret? Immerhin sind das unterschiedliche Xi's. Oder hilft es mir jetzt, dass ich x_0 beliebig nahe an den Rand schieben kann?

09.07.2010, 12:39

Cel

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Sorry für den Doppelpost, ich wollte den Thread noch mal pushen. Kann mir jemand noch etwas zu meinen Überlegungen sagen? Noch dazu will es mir gerade nicht einleuchten, dass die Dichte monoton steigend ist. verwirrt

09.07.2010, 12:49

Zellerli

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Ah, da war ja noch was zu lösen.

Dann mal die Rückfrage: Was heißt "höhere Werte"?
Also wenn es dir reicht, dass die obere Hälfte der Werte bei $\begin{eqnarray*} F_L \end{eqnarray*}$ häufiger zu Stande kommt, dann nimmst du für $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ genau $\begin{eqnarray*} x_0=\frac{\underline{x}+\overline{x}}{2} \end{eqnarray*}$ und dann musst du einen Satz rauskramen, dass die durchschnittliche Steigung von $\begin{eqnarray*} F_L \end{eqnarray*}$ größer ist, als die von $\begin{eqnarray*} F_H \end{eqnarray*}$ (naja was heißt rauskramen, da sollte "direkter Weg" genügen).

Wenn du hingegen eine Art "Gewichtung hast", also: Wenn $\begin{eqnarray*} F_L \end{eqnarray*}$ doppelt so häufig Werte, die über 90% des Intervalls liegen, liefert als $\begin{eqnarray*} F_H \end{eqnarray*}$ , dann ist der Bereich 50%-90% völlig egal.
Oder:
Wenn $\begin{eqnarray*} F_L \end{eqnarray*}$ genau ab der Mitte jeden Wert häufiger ausgeben soll als $\begin{eqnarray*} F_H \end{eqnarray*}$ , dann wirds schwer.

Da kann man nämlich immer ein Gegenbeispiel konstruieren, das $\begin{eqnarray*} F_L < F_H \end{eqnarray*}$ erfüllt, aber nicht die genannten Eigenschaften hat.

Falls du also nichts konkretes hast (was heißt "höhere Werte sind wahrscheinlicher"?), dann muss die genauso unkonkrete Intuition, die du schon im ersten Post geäußert hast, auch als Erklärung ausreichend (und es bleibt sogar die einzige). Mit Sätzen aus der Analysis kannst du es dir anschaulicher machen, aber eben nur konkrete Aussagen beweisen.

09.07.2010, 13:11

Cel

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Also, die Formulierung der Quelle ist genauso vage wie meine Formulierung. Zumal ich ja in einer BA nicht nur abschreiben soll, ein wenig Initiative ist erwünscht. ICh würde das dann gerne so machen, wie du hier schreibst:

Zitat:

Original von Zellerli
Also wenn es dir reicht, dass die obere Hälfte der Werte bei $\begin{eqnarray*} F_L \end{eqnarray*}$ häufiger zu Stande kommt, dann nimmst du für $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ genau $\begin{eqnarray*} x_0=\frac{\underline{x}+\overline{x}}{2} \end{eqnarray*}$ und dann musst du einen Satz rauskramen, dass die durchschnittliche Steigung von $\begin{eqnarray*} F_L \end{eqnarray*}$ größer ist, als die von $\begin{eqnarray*} F_H \end{eqnarray*}$ (naja was heißt rauskramen, da sollte "direkter Weg" genügen).

Wäre meine Argumentation mit den beiden Xi's denn nicht in Ordnung, wenn ich einfach (wieder recht unkonkret) sage, dass die Wahrscheinlichkeit nahe des rechten Randes größer wird? Immerhin sind dann ja beide Xi's auch recht nahe beieinander?

Bzgl. der durchschnittlichen Steigung: Das sind ja jeweils die rechten Seiten des Mittelwertsatzes oben. Wenn ich da dein spezielles x_0 nehme, bekomme ich eine passende Abschätzung hin.

Was ich jetzt nur noch wissen möchte, ist, ob ich meine Xi's in die Tonne treten kann oder einfach mein x_0 weit genug nach rechts schieben soll.

09.07.2010, 13:52

Zellerli

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Was soll dir das allein bringen?
Du kannst nichtmal ein Intervall M finden, indem dieser Sachverhalt für alle $\begin{eqnarray*} x \in M \end{eqnarray*}$ gilt (d.h. z.B. $\begin{eqnarray*} F_H \end{eqnarray*}$ kann auch kurz vorm Ende noch einen infinitesimalen "Schlenkerer" machen und doch stärker steigen als $\begin{eqnarray*} F_L \end{eqnarray*}$ ).

Daher würde ich wie gesagt mal die genaue Definition von "höhere Werte sind wahrscheinlicher" heraussuchen.

09.07.2010, 14:17

Huggy

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RE: Ungleichung von Verteilungsfunktionen
ich habe auch so meine Probleme, eine sinnvolle Interpretation für

Zitat:

Daraus schließt der Autor jetzt, dass die $\begin{eqnarray*} F_L \text{ - Verteilung} \end{eqnarray*}$ die "bessere" Verteilung ist, da die W', einen hohen x-Wert zu erhalten, höher ist als bei der $\begin{eqnarray*} F_H \text{ - Verteilung} \end{eqnarray*}$ (Hohe x-Werte sind in meinem Zusammenhang gut).

zu finden.

Wahrscheinlichkeiten erforden eine Zufallsgröße. Hier wird nach Wahrscheinlichkeiten für X gefragt. Also ist X die Zufallsgröße. Aber X ist nicht die primäre Zufallsgröße, denn die x-Werte sollen ja mittels der Verteilungsfunktionen $\begin{eqnarray*} F_H \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} F_L \end{eqnarray*}$ berechnet werden.

Es sollte also eine Zufallsgröße Y geben, die irgendwie im Intervall [0, 1] verteilt ist. Wenn gilt Y = y, dann gilt

$\begin{eqnarray*} X=F_H^{-1}(y) \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} X=F_L^{-1}(y) \end{eqnarray*}$

Unter der Voraussetzung

$\begin{eqnarray*} F_H(x)>F_L(x) \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} I^0 \end{eqnarray*}$

gilt aber für jedes beleibige y in (0, 1)

$\begin{eqnarray*} F_L^{-1}(y)>F_H^{-1}(y) \end{eqnarray*}$

In diesem Sinne ist dann

$\begin{eqnarray*} P_L(X \geq x_0)>P_H(X \geq x_0) \end{eqnarray*}$

für jedes beliebige $\begin{eqnarray*} x_0 \in I^0 \end{eqnarray*}$ trivialerweise erfüllt. Das schließt nicht aus, dass es sich in lokal begrenzten Bereichen anders verhält.

09.07.2010, 14:51

Cel

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@ Zellerli: Genau das ist das Probelm, der Autor schreibt den Sachverhalt ziemlich genau so nieder, wie ich es auch getan habe. Nebenbei bemerkt schreibe ich die Arbeit im Controlling und ich wollte in diesen Absatz noch ein bisschen mehr Mathematik bringen. Deshalb werde ich deinen Ansatz mit der durchscnittlichen W' nehmen.

@ Huggy: Wunderbar, das gefällt mir auch. Wie gesagt, der Autor meine Quelle nimmt es mit den mathematischen Genauigkeiten nicht so ... genau. Big Laugh

Ich denke, dass ihr beide gute Ideen für mich geliefert habt und dass das für meine Zwecke reicht.

Vielen Dank euch beiden. Wink

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