Differnzierbarkeit einiger Funktionen

06.07.2010, 14:07

m0pf

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Differnzierbarkeit einiger Funktionen

Hallöchen, irgendwie hab ich das ein oder andere Problem damit einige Funktionen von meinem aktuellen Blatt auf diffbarkeit zu untersuche.
Ich verlinke mal mein Blatt. Es dreht sich um Aufgabe 1 und 2.

Zur 1a) habe ich mir ein paar Gedanken gemacht und zwar hab ich das ganze mit dem Differenzenquotienten gemacht für die Stelle x_0=0 und komme am Schluss auf

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} x\cdot sin\left(\frac{1}{x} \right) = 0 \end{eqnarray*}$ (stimmt der GW?)
Also müsste die Funktion im Punkt 0 doch diffbar sein, da der Grenzwert im "eigentlichen" Sinn existiert.
In allen anderen Punkten ist die diffbarkeit ja klar, da f ja eine Verknüpfung stetiger Funktionen ist.

Kann mir jemand was zu dem Ansatz sagen?

06.07.2010, 15:19

gonnabphd

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Ja, das stimmt doch soweit... Freude

Freude

06.07.2010, 15:28

m0pf

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Gut

smile

Die Ableitung von f wäre ja

$\begin{eqnarray*} f'(x)=2x\cdot sin(\frac{1}{x})-cos(\frac{1}{x} ) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x \neq 0 \end{eqnarray*}$
und $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ oder?

Muss man das dann auf links- und rechtsseitige Stetigkeit in 0 überprüfen?
Denn sonst ist f'(x) ja eine Kompostion stetiger Abbildungen.

06.07.2010, 15:41

gonnabphd

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Zitat:

Ja, das stimmt doch soweit... Freude

Freude

Augenzwinkern

06.07.2010, 15:51

m0pf

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Wie würde denn da der Grenzwert aussehn?
Wäre das dann für
$\begin{eqnarray*} x_{0+} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} -cos(\infty) \end{eqnarray*}$ bzw. für
$\begin{eqnarray*} x_{0-} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} -cos(-\infty) \end{eqnarray*}$ ?

Falls ja, stellt sich mir die Frage ob die wirklich gleich sind...
Ein Argument meinerseits für "ja" wäre, das cos(x) ja y-Achsensymmetrisch ist, bin mir da aber nicht sicher...

06.07.2010, 15:56

gonnabphd

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} x_{0+} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} -cos(\infty) \end{eqnarray*}$ bzw. für
$\begin{eqnarray*} x_{0-} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} -cos(-\infty) \end{eqnarray*}$ ?

verwirrt

"Interessante (?)" Notation... *räusper*

Betrachte doch mal die Nullfolgen

$\begin{eqnarray*} x_n := \frac{1}{ 2n \pi}, \quad y_n := \frac{1}{(2n+1)\pi} \end{eqnarray*}$

Wink

Wink

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06.07.2010, 16:00

m0pf

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Naja, bei x_n wird cos ja immer 1 und bei y_n immer 0, es sei denn ich habe wieder meinen "chronischen Perdiodenfehler" gemacht^^
Nur was gilft mir das Ganze denn?

06.07.2010, 17:37

gonnabphd

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Ja, wie ist denn die Stetigkeit einer Funktion in einem Punkt definiert?

06.07.2010, 19:35

m0pf

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Naja, links und rechtsseitiger Grenzwert in x_0 müssen überinstimmen.
bzw. lim(x_n)=x=lim(f(x_n)=f(x)

06.07.2010, 20:21

gonnabphd

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Jah, bleiben wir vorläufig mal beim rechtsseitigen Grenzwert!

Jetzt hast du ja von rechts her zwei Nullfolgen $\begin{eqnarray*} x_n, \, y_n \rightarrow 0 \end{eqnarray*}$ für welche gilt $\begin{eqnarray*} \lim f(x_n) = 1 \neq -1 = \lim f(y_n) \end{eqnarray*}$

Welchen Wert wollen wir nun $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0+} f(x) \end{eqnarray*}$ geben?

06.07.2010, 20:34

m0pf

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Ich würde jetzt mal intuitiv auf 0 schätzen, wenn das stimmt, versteh ich ehrlich gesagt allerdings nicht ganz, wieso ^^

06.07.2010, 22:11

gonnabphd

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Zitat:

Ich würde jetzt mal intuitiv auf 0 schätzen, wenn das stimmt, versteh ich ehrlich gesagt allerdings nicht ganz, wieso ^^

Meine Güte... geschockt

geschockt

Ich denke mal, es wäre an der Zeit, dir die Definition von $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x'} \end{eqnarray*}$ für eine Funktion nochmal GRÜNDLICH! anzuschauen...

Die Frage

Zitat:

Welchen Wert wollen wir nun $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0+} f(x) \end{eqnarray*}$ geben?

wär nämlich rhetorisch gemeint. unglücklich

unglücklich

06.07.2010, 22:17

m0pf

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Hammer

Hammer

Hammer

Ups

Ups

Ups

Hab das "2 Folgen von rechts" überlesen.
Dann dürfte der Grenzwertz wohl nicht existieren.
Also wäre f'(x) in x_0=0 nicht stetig

06.07.2010, 22:32

gonnabphd

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Zitat:

Zitat:

Ja, das stimmt doch soweit... Freude

Freude

Augenzwinkern

Hurray...

Prost

06.07.2010, 22:55

m0pf

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Schonmal danke.
Kannst du mir vielleicht noch helfen, wie ich bei 2 a) und b) ansetze?
Da kann ich den Differenzenquotienten ja irgendwie schlecht anwenden...

06.07.2010, 23:24

gonnabphd

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Zitat:

Kannst du mir vielleicht noch helfen, wie ich bei 2 a) und b) ansetze?
Da kann ich den Differenzenquotienten ja irgendwie schlecht anwenden...

Doch, auch da geht's.

$\begin{eqnarray*} |x| := \begin{cases} x & x \ge 0 \\ -x & x < 0 \end{cases} \end{eqnarray*}$

07.07.2010, 11:53

Andi24

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Frage an m0pf:

Dürfen wir denn nicht schon die Ableitungsregeln verwenden? Dann brauch man für Aufg.2 ja net wirklich den Diff.-quotient, oder war er in der Vorlesung noch net soweit?

Gruß Wink

Wink

07.07.2010, 14:08

m0pf

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War mein erster Ansatz.
Aber habs jetzt (zumindest bei c-f) mit Produkt-,Qoutienten- und Kettenregel gemacht.
Die Diffbarkeit ist ja soweit klar in D_f, nur a macht mir ein wenig Probleme.#
Ich hab in a f(x) definiert als:

sin(x) für (k*pi, (k+1)*pi) ,k € Z und k gerade
-sin(x) für (k*pi, (k+1)*pi) ,k € Z und k ungerade
0 für k*pi , k € Z

Anm.: (.... , ....) sollen (wie eigentlich gewohnt) offene Intervalle darstellen.

Das Problem liegt für mich hier in der Stelle 0.
Ist da nicht linksseitiger GW= rechtsseitiger GW = 0?
Kann aber auch ein Denkfehler meinerseits sein Big Laugh

Big Laugh

07.07.2010, 17:42

m0pf

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Kann mir da niemand sagen ob das mit dem Sinus soweit stimmt?
Also wie ich den Betrag definiert habe und meine Überlegung für die Stellen k*pi und nicht wie fälschlicherweise im vorherigen Post in der Stelle 0.

08.07.2010, 15:02

Andi24

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Jo, ich habs auch so gemacht mit den Intervallen, allerdings musst du noch in einem Bereichen vom offenen Intervall zum geschlossenen Übergehen, sonst fehlen dir alle Stellen, an denen der Sinus 0 ist.

Gruß

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