Konvergenz die 2.(Vergleichskriterium)

06.07.2010, 16:41

Peter.

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Konvergenz die 2.(Vergleichskriterium)

Hi,

bei einer anderen Aufgabe soll ich Aussagen über das Konvergenzverhalten machen, indem ich das Vergleichskriterium nutze. Z.B. Bei der Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} \sum \frac 1 {\sqrt{n(1+n^2)}} \end{eqnarray*}$

Nur welche Reihe zieht man hier am besten zum Vergleich heran?

06.07.2010, 16:43

tmo

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Weißt du schon was über die konvergenz von $\begin{eqnarray*} \sum \frac{1}{n^s} \end{eqnarray*}$ ?

06.07.2010, 16:47

Peter.

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Die ist laut meiner Formelsammlung Konvergent für s>1. Aber wie sehe ich jetzt, dass diese größer ist, als meine gegebene Formel?

06.07.2010, 16:52

tmo

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Du kannst doch Radikand geeignet abschätzen.

06.07.2010, 17:03

Peter.

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Hmm wie kann ich den denn am besten abschätzen? $\begin{eqnarray*} \frac 1 {\sqrt n} \end{eqnarray*}$ ist zu sehr abgeschätzt. Da haut das Kriterium nicht mehr hin.

06.07.2010, 17:07

tmo

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Du musst $\begin{eqnarray*} n(1+n^2)=n+n^3 \end{eqnarray*}$ nach unten abschätzen. Das ist doch eigentlich sehr intuitiv.

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06.07.2010, 17:22

Peter.

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Tut mir leid, ich habe bis jetzt noch nie solche Abschätzungen verwendet. Wie geht man denn dabei vor?

06.07.2010, 17:28

tmo

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Du weißt doch dass die Reihe für s > 1 konvergiert.

Hier haben wir noch eine Wurzel drin, d.h. die Potenz wird nochmal halbiert. Also brauchen wir irgendwie eine Potenz größer als 2.

D.h. du musst $\begin{eqnarray*} n+n^3 \end{eqnarray*}$ gegen eine Potenz von n abschätzen, die größer als 2 ist. Das ist doch nicht schwer.

06.07.2010, 17:42

Peter.

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Ah gut also nehme ich n^3. Damit ist das Ganze kleiner als 1/n^s mit s s>1. Weswegen die Reihe konvergiert.

Hier noch eine Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} \sum \frac 1 {2n+n\cdot \sin n} \end{eqnarray*}$

Hier würde ich den Sinus erst einmal mit einer 0 Abschätzen. Also brauche ich jetzt eine Folge, die Konvergiert und größer ist als $\begin{eqnarray*} \sum \frac 1 {2n} \end{eqnarray*}$

06.07.2010, 17:48

tmo

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Du vermutest also, dass die Reihe konvergiert?

Kürze mal durch n. Vielleicht wird es dann deutlicher, dass sie das gar nicht tut.

06.07.2010, 17:57

Peter.

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Also gekürzt:

$\begin{eqnarray*} \sum \frac{\frac 1 n} {2 + \sin n} \end{eqnarray*}$

Damit ist ja die Notwendige Bedingung für Konvergenz gegeben, da der Zäher gegen 0 geht. Aber wie zeigt man jetzt, dass sie divergent ist?

06.07.2010, 17:58

tmo

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Der Zähler ist die harmonische Reihe. Die divergiert.
Und welche Werte kann der Nenner denn hier nur annehmen?

06.07.2010, 18:15

Peter.

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Also der Nenner kann werte Zwischen 1 und 3 annehmen. Also kann ich ihn denke ich mit 1 nach unten Abschätzen. Bleibt also die Harmonische Reihe, die divergent ist. Folglich ist die Reihe auch divergent kann man da so argumentieren?

Bei der Aufgabe würde ich es dann genau so machen: $\begin{eqnarray*} \sum \frac 1 {3n+{(-1)}^nn} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \frac 1 2\sum \frac 1 n \end{eqnarray*}$

nur wie sieht es hier aus kann man da auch ähnlich herangehen:

$\begin{eqnarray*} \sum \frac{n+7\sqrt n}{n^2+{(-1)}^n n} \end{eqnarray*}$ Hier sehe ich erst einmal nicht, was ich hier ausklammern könnte. Es bleibt immer etwas ungünstiges stehen wie ich finde. Auch den Bruch auseinander nehmen hat nichts gebracht.

06.07.2010, 18:48

Kühlkiste

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$\begin{eqnarray*} \sum \frac{n+7\sqrt n}{n^2+{(-1)}^n n} \end{eqnarray*}$

Erstmal n kürzen und dann nach unten abschätzen gegen die harm. Reihe.

06.07.2010, 19:08

Peter.

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Also das n Kürzen habe ich auch schon versucht. Aber nichts gesehen, was man abschätzen könnte:

$\begin{eqnarray*} \sum \frac{1+\frac 7{\sqrt n }}{n+{(-1)}^n} \end{eqnarray*}$

bzw.

$\begin{eqnarray*} \frac 1 {n+{(-1)}^n}+ \frac 7 {\sqrt n (n +{(-1)}^n)} \end{eqnarray*}$

Nur was schätzt man jetzt ab?

06.07.2010, 19:12

tmo

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Zitat:

Original von Peter.
Also der Nenner kann werte Zwischen 1 und 3 annehmen. Also kann ich ihn denke ich mit 1 nach unten Abschätzen. Bleibt also die Harmonische Reihe, die divergent ist. Folglich ist die Reihe auch divergent kann man da so argumentieren?

Erstmal hier zu: Generell ist das erstmal richtig, aber du willst doch Divergenz zeigen. D.h. du musst die Reihen nach unten abschätzen, also den Nenner nach oben. Und dann musst du mit der 3 abschätzen. Aber der Rest der Argumentation ist natürlich die selbe.

Den entsprechenden Fehler hast du dann auch hier begangen:

Zitat:

Original von Peter.
Bei der Aufgabe würde ich es dann genau so machen: $\begin{eqnarray*} \sum \frac 1 {3n+{(-1)}^nn} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \frac 1 2\sum \frac 1 n \end{eqnarray*}$

06.07.2010, 19:20

Peter.

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Da hast du Natürlich recht. Ich komme immer noch ein wenig durcheinander mit dem nach Oben und Unten abschätzen. Aber was kann ich jetzt hier abschätzen?

Es reicht ja nciht zu zeigen, dass ein Summand divergent ist, oder?

Zitat:

Original von Peter.
Also das n Kürzen habe ich auch schon versucht. Aber nichts gesehen, was man abschätzen könnte:

$\begin{eqnarray*} \sum \frac{1+\frac 7{\sqrt n }}{n+{(-1)}^n} \end{eqnarray*}$

bzw.

$\begin{eqnarray*} \frac 1 {n+{(-1)}^n}+ \frac 7 {\sqrt n (n +{(-1)}^n)} \end{eqnarray*}$

Nur was schätzt man jetzt ab?

06.07.2010, 19:57

tmo

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Zitat:

Original von Peter.
Es reicht ja nciht zu zeigen, dass ein Summand divergent ist, oder?

Doch. Divergent + Konvergent ergibt Divergent. Kann man leicht durch einen Widerspruchsbeweis zeigen.

06.07.2010, 20:25

Peter.

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Also könnte ich einfach mit

$\begin{eqnarray*} \sum \frac 1{k+1} < \sum \frac 1 k \end{eqnarray*}$ Argumentieren, oder? Und damit ist die Summe divergent.

06.07.2010, 20:43

Peter.

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Zitat:

Original von tmo

Zitat:

Original von Peter.
Es reicht ja nciht zu zeigen, dass ein Summand divergent ist, oder?

Doch. Divergent + Konvergent ergibt Divergent. Kann man leicht durch einen Widerspruchsbeweis zeigen.

Der Beweis würde mich auch mal interessieren.

06.07.2010, 21:29

Peter.

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Ich habe mir gerade nochmal den Thread komplett durchgelesen. Und mir ist jetzt im Nachhinein noch etwas unklar.

Bei Konvergenz muss ich nach oben abschätzen. Bei Divergenz nach unten.

Aber wir haben doch über die Aufgabe diskutiert:

$\begin{eqnarray*} \sum \frac 1 {\sqrt {n^2+n^3}} \end{eqnarray*}$ Die Reihe ist ja Konvergent. Das heißt ich müsste nach oben abschätzen. Aber wir haben das ja mit $\begin{eqnarray*} \sum \frac 1 {\sqrt {n^3}} \end{eqnarray*}$ also nach unten abgeschätzt. Wieso darf man das in dem Fall? Oder habe ich einen totalen Denkfehler in meiner Überlegung?

06.07.2010, 21:31

tmo

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Der Denkfehler ist, dass wir in der Tat nach oben abgeschätzt haben. smile

smile

06.07.2010, 22:40

Peter.

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Ah stimmt $\begin{eqnarray*} n^3>n^3+n^2 \end{eqnarray*}$ smile

smile

. Aber das heißt ich muss nicht immer bis zur "absoluten Grenze" abschätzen, was ja hier $\begin{eqnarray*} \sqrt n \end{eqnarray*}$ wäre

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