Frobenius Homomorphismus

06.07.2010, 17:57

eisiii

Frobenius Homomorphismus

Hallo,
ich komme bei dieser Aufgabe irgendwie gerade nicht weiter.

"Sei $\begin{eqnarray*} \mathbb{F}_9= \mathbb{F}_3[X]/(X^2+1) \end{eqnarray*}$

Bestimmen Sie das Bild eines allgemeinen Elements $\begin{eqnarray*} a + bX \in \mathbb{F}_9 \end{eqnarray*}$ unter dem Frobenius- Homomorphismus $\begin{eqnarray*} x \rightarrow x^3 \end{eqnarray*}$ "

Ich soll also das Bild dieses Elements bestimmen. Also lasse ich den Homomorphismus darauf wirken und erhalte

$\begin{eqnarray*} f(a+bX)=(a+bX)^3= a^3+3a^2bX^2+3ab^2X^2+b^3X^3 \end{eqnarray*}$

Da kann aber noch nicht alles gewesen sein oder? Ich nehme an, dass sich noch irgendetwas in dem Körper tut, in dem ich mich befinde. $\begin{eqnarray*} \mathbb{F}_9 \end{eqnarray*}$ ist ja ein Körper mit 9 Elementen.
Dieser ist gleich einem Körper mit 3 Elementen modulu dem Polynom X²+1. Also ist die größte Hochzahl die sich in meinem Körper mit 9 Elementen befindet = 1. Mein Polynom darf also höchstens vom Grad 1 sein.
Muss ich dann einfach aus allen $\begin{eqnarray*} X^3 \end{eqnarray*}$ einfach $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ machen und aus allen X² die 1?

Ich habe auch überlegt, hier mit der Polynomdivision ranzugehen, bekomme da aber Probleme mit meinen Koeffizienten a und b.

ich freue mich über jede Hilfe.
eisiii

06.07.2010, 18:12

gonnabphd

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Muss ich dann einfach aus allen $\begin{eqnarray*} X^3 \end{eqnarray*}$ einfach $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ machen und aus allen X² die 1?

Du meinst sicher

$\begin{eqnarray*} X^2 = -1 \end{eqnarray*}$ .

Und ja, ich denke schon, dass die Idee ist, da noch soweit wie möglich zu vereinfachen.

Übrigens: $\begin{eqnarray*} \mathbb{F}_9 \end{eqnarray*}$ hat Charakteristik 3... (sonst wäre der Frobeniushomomorphismus ja im Allgemeinen kein Hom.)

Wink

07.07.2010, 01:09

eisiii

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke erstmal für die Antwort.
Ich meinte eigentlich schon aus X² die 1 machen. Ich hatte mir das so überlegt, dass man überall einfach zwei Potenzen wegnimmt, da ich ja modulu $\begin{eqnarray*} X^2+1 \end{eqnarray*}$ rechne.

Mittlerweile glaube ich aber, dass das nicht der richtige Weg ist. Mir erscheint es da sinnvoller eine Polynomdivision zu machen. Aber da hänge ich bei den ganzen Koeffizienten...
Wie kommst du denn auf X²=-1? Das einzige woraus ich gekommen bin, ist dass du das Polynom =0 gesetzt hast und dann nach X² umgeformt...

Bin ich hier auf dem richtigen Weg?

07.07.2010, 09:00

kiste

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja du rechnest doch modulo x^2+1. Und dort ist eben $\begin{eqnarray*} -1 \equiv -1 + (x^2 + 1) = x^2 \end{eqnarray*}$ da man beliebige Elemente der Hauptideals (x^2+1) dazuaddieren kann.

Neue Frage »

Antworten »

Frobenius Homomorphismus

Verwandte Themen