Lineare Abbildung

06.07.2010, 18:29

Stern.Ex

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Lineare Abbildung

Hallo,
ich hinke leider im Lehrstoff weit zurück und hab somit keine blassen Schimmer, wie ich dieses Aufgabe lösen kann. Da bald Prüfungen sind, stellt sich bei mir die Panik ein traurig

traurig

Sei $\begin{eqnarray*} V={A\in R^{2,2} / A ist obere Dreiecksmatrix} \end{eqnarray*}$ .
Die lineare Abbildung L:V-->V, A->L(A) hat die Eigenvektoren $\begin{eqnarray*} c= \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} ,D \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$ zum Eigenwert 1 und $\begin{eqnarray*} E= \begin{vmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$ . Basis von V B={C,D,E}

a) Bestimmen sie Bild und Kern
b) Bestimmen sie die Darstellende Matrix
C) Bestimmung der Koordinatenabbildung

Hoffe mir kann jemand helfen

06.07.2010, 19:47

Iorek

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Dann fangen wir mal mit dem Wichtigsten an: Wie lautet deine Aufgabe? Was soll dein $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ sein? Eine Matrix? So steht es nämlich bei dir.

Soll dein $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ ein Ring sein (wenn ja, was gilt noch alles in diesem Ring), oder meinst du vielleicht eher $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ , die reellen Zahlen?

Wenn das geklärt ist, schlag die Begriffe für Kern und Bild nach, wie sind diese definiert, welche Zusammenhänge von Kern und Bild habt ihr aufgeschrieben?

06.07.2010, 20:09

Stern.Ex

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Danke für die Antwort. V soll die Menge der 2x2 oberen Dreiecksmatrizen sein und R die Menge der reellen Zahlen (war ein bissl missverständlich smile

smile

). Der Kern sind doch die Vektoren, die durch die lineare Abbildung auf den Nullvektor abgebildet werden. Also A*x=0.
Das Bild einer Matrix einer linearen Abbildung ist gleich den linear unabhängigen Spalten.

ABer wie das mit den Eigenvektoren funktionieren soll........

06.07.2010, 20:27

Iorek

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Ok, dann schreiben wir die Vorraussetzungen mal sauber auf:

Wir haben den $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ -Vektorraum $\begin{eqnarray*} V=\{X\in\mathbb R^{2\times 2}~|~\text{X ist obere Dreiecksmatrix}\} \end{eqnarray*}$ gegeben. Was soll jetzt dein $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ da sein, ist dir das vorgegeben, wo kommt das her? Außerdem fehlt zu deinen Eigenvektoren noch eine Information; $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ sind Eigenvektoren zum Eigenwert 1, was ist mit $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ ? Und welche Eigenschaften haben Eigenvektoren die man hier ausnutzen könnte?

06.07.2010, 20:46

Stern.Ex

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A ist ist das X bei dir und nicht direkt vorgegeben. Der fehlende Eigenwert zu E ist 0.
Ich finde leider überhaupt keine Eigenschaften der Eigenvektoren, die ausgenutz werden könnten verwirrt

verwirrt

06.07.2010, 20:47

Iorek

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Wie ist denn die Definition eines Eigenvektors/Eigenwerts?

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06.07.2010, 21:00

Stern.Ex

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Ein Eigenvektor ist ein Vektor, $\begin{eqnarray*} v\neq 0 \end{eqnarray*}$ , der durch eine lineare Abbildung au f das Vielfache seiner selbst ebgebildet wird. Also L(v)= $\begin{eqnarray*} \lambda v \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \lambda \in K \end{eqnarray*}$ .

Ist für die "Aufstellung" eine Lösung zu finden ungleich 0, so ist $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ Eigenwert zu der linearen Abbildung.

06.07.2010, 21:04

Iorek

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Zitat:

Original von Stern.Ex
Ein Eigenvektor ist ein Vektor, $\begin{eqnarray*} v\neq 0 \end{eqnarray*}$ , der durch eine lineare Abbildung au f das Vielfache seiner selbst ebgebildet wird. Also L(v)= $\begin{eqnarray*} \lambda v \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \lambda \in K \end{eqnarray*}$ .

Dann wende das jetzt doch mal an. Du hast eine Basis von $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ gegeben und (spezielle) Bilder der Basisvektoren. Das ist jetzt einfach nur ein Einsetzen und Anwenden der Definition.

06.07.2010, 21:10

Stern.Ex

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Sorry, ich raffs immer noch nicht. Müsste dsa Bild der Linearen Abbildung nicht einfach der Span der Basis sein? Bild(L)=span{C,D,E}?

06.07.2010, 21:15

Iorek

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Nein

unglücklich

Du hast eine Basis von $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ gegeben, auf die Basisvektoren lässt du jetzt deine lineare Abbildung los und erhälst als Bild $\begin{eqnarray*} \operatorname{span}(L(C),L(D),L(E)) \end{eqnarray*}$ , was i.A. allerdings ungleich $\begin{eqnarray*} \operatorname{span}(C,D,E) \end{eqnarray*}$ ist.

Nimm doch einfach meinen Tipp an, und verwende die Definition des Eigenvektors, du weißt, dass C ein Eigenvektor zum Eigenwert 1 ist, was erhälst du dann damit? Selbiges für D und auch für E.

06.07.2010, 21:24

Stern.Ex

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Also ist das Bild der linearen Abb. $\begin{eqnarray*} span( { {\begin{vmatrix} 1& 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix},\begin{vmatrix} 0& 1 \\ 0 & 0 \end{vmatrix},\begin{vmatrix} 0& 0 \\ 0 & 0 \end{vmatrix} } } ) \end{eqnarray*}$ ?

06.07.2010, 21:27

Iorek

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Ja, und was fällt hierbei auf? Welche Aussage lässt sich jetzt direkt über den Kern treffen?

06.07.2010, 21:34

Stern.Ex

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Die Dimension des Bildes entspricht der Dimension von V. Damit ist dim(Kern) leer. Der Kern besteht also nur aus dem neutralen Element?

06.07.2010, 21:40

Iorek

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Guck dir bitte nochmal dein Erzeugendensystem für das Bild an und erinner dich an die Definition der Dimension eines Vektorraums unglücklich

unglücklich

Alternativ verwende die Definition vom Kern einer linearen Abbildung und überleg dir eine Eigenschaft zum Eigenwert 0, die du damit verbinden kannst.

06.07.2010, 21:47

Stern.Ex

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ICh danke für deine Geduld, aber bei mir legts sich einfach nicht der Schalter um... traurig

traurig

06.07.2010, 21:49

Iorek

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Was ist denn, wenn der Nullvektor im Erzeugendensystem liegt, was hat der für Auswirkungen?

06.07.2010, 22:09

Stern.Ex

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Egal für welchen Skalar, wird der Vektor immer 0 sein. Somit wäre ein Lgs nicht eindeutig bestimmbar? Mensch, ich red nur Quark...

06.07.2010, 22:12

Iorek

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Zitat:

Original von Stern.Ex
Mensch, ich red nur Quark...

Ja.

Weißt du überhaupt wovon wir hier reden, was wir für Strukturen zu Grunde legen, welche Eigenschaften diese Strukturen haben...mir scheint bei dir haperts eher noch an den Grundlagen der Vektorraumtheorie.

06.07.2010, 22:22

Stern.Ex

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Mmh...ich werd mich wohl wieder der Ursuppe zu wenden müssen. Trotzdem danke für deine Hilfe und Geduld.

06.07.2010, 22:24

Iorek

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Lies dir nochmal die grundlegenden Eigenschaften eines Vektorraums, die Definition und Zusammenhänge von Basis/Dimension und der linearen Abbildungen durch, danach kannst du dich ja nochmal an der Aufgabe versuchen. Allerdings sollten diese Begriffe und Zusammenhänge dafür wirklich vorhanden sein. Wink

Wink

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