Eulerscher Multiplikator

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04.11.2006, 14:45	Sunwater	Auf diesen Beitrag antworten »
Eulerscher Multiplikator Hi... ich soll für eine lineare DGL einen Eulerschen Multiplikator bestimmen und dann die exakte DGL lösen... sei jetzt also die lineare DGL: $\begin{eqnarray} y' + f(x) y = g(x) \end{eqnarray}$ das kann man ja umformen zu: $\begin{eqnarray} y' = - \frac{f(x)y - g(x)}{1} \end{eqnarray}$ jetzt muss ich also ein $\begin{eqnarray} \lambda (x,y) \end{eqnarray}$ suchen, so dass gilt: $\begin{eqnarray} \frac{\partial}{\partial y} \left( (f(x)y - g(x)) \lambda(x,y) \right) = \frac{\partial}{\partial x} (1 \cdot \lambda (x,y)) \end{eqnarray}$ das ist ja eigentlich eine partielle DGL, die ich noch nicht lösen kann, aber unser Prof. meinte, dass man es manchmal schafft, wenn man einen guten Ansatz findet: z.B. $\begin{eqnarray} \lambda (x,y) = v(x \cdot y) \textnormal{ oder } \lambda (x,y) = x^{\alpha}y^{\beta} \textnormal{ oder } \lambda (x,y) = v(x + y) \end{eqnarray}$ leider hab ich noch keinen Ansatz gefunden ( oder nicht richtig gemacht ), so dass ich auf eine Gewöhliche DGL kam, die ich lösen kann... habt ihr ne Idee?
04.11.2006, 15:09	Geistermeister	Auf diesen Beitrag antworten »
Du musst die Produktregel anwenden! Bei der Ableitung von f(x) oder g(x) nach y fällt f(x) oder g(x) weg. Die Gleichung müsste abgeleitet lauten: $\begin{eqnarray} f(x)\lambda(x,y)+\lambda_{y}(x,y)(f(x)y-g(x)) = \lambda_{x}(x,y) \end{eqnarray}$ Hier ist lambda mit x unten die Lambda-Funktion nach x abgeleitet und dabei y als konstant bezeichnet. Ich würde dir den Ansatz $\begin{eqnarray} \lambda(x,y) = x^{\alpha}y^{\beta} \end{eqnarray}$ empfehlen. $\begin{eqnarray} \lambda_{x}(x,y) = \alpha y^{\beta}x^{\alpha-1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \lambda_{y}(x,y) = \beta x^{\alpha}y^{\beta-1} \end{eqnarray}$ Nach Umformen kommst du auf Ergebnisse.
05.11.2006, 13:05	Sunwater	Auf diesen Beitrag antworten »
also ich komm leider nicht auf Ergebnisse! wenn ich die Gleichung aufstelle sieht das so aus: $\begin{eqnarray} f(x)xy + \beta x y f(x) - \beta x g(x) = \alpha y \end{eqnarray}$ so wenn ich jetzt $\begin{eqnarray} \beta = 0 \end{eqnarray}$ wähle, komme ich auf $\begin{eqnarray} \alpha = f(x) x \end{eqnarray}$ wenn ich dann die Ableitungen überprüfe, stimmt das aber nicht... wie soll ich da weitermachen?
05.11.2006, 22:08	vektorraum	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi! Wie immer habe ich die gleiche Aufgabe Also: Sei $\begin{eqnarray} y+f(x)y=g(x) \end{eqnarray}$ Das ganze kannst du auch schreiben als $\begin{eqnarray} (f(x)y-g(x))\dd x+\dd y=0 \end{eqnarray}$ Dann suchen wir einen Eulerschen Multiplikator. Ich gebe dir jetzt einfach mal den Tipp, dass der Eulersche Multiplikator in diesem Fall auch nur von x abhängt, d.h. $\begin{eqnarray} \lambda = \lambda (x) \end{eqnarray}$ Warum das so ist, kannst du dir schnell selbst überlegen... Jetzt dürfte es nicht mehr schwer sein.... Edit: der Tipp von Geistermeister scheint mir nicht sehr angebracht zu sein... Wie kommst du auch gerade auf diesen Multiplikator???
07.11.2006, 00:10	bAwk!	Auf diesen Beitrag antworten »
re: kleine korrektur hier für die die Aufgabe nicht vor sich liegen haben, könntest du das mal fix korrigieren, du hast den Strich am y bei der 1. Formel vergessen $\begin{eqnarray} y'+f(x)y=g(x) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{dy}{dx} +f(x)y-g(x)=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} dy+(f(x)y-g(x))dx=0 \end{eqnarray}$
07.11.2006, 21:53	Matsch	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, könnte der Multiplikator nicht auch folgende Form sein: m(x,y)=(f(x))^r * (g(x))^z ? Hab's zwar noch nicht probiert, aber damit sollte es doch klappen, oder?
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07.11.2006, 22:11	Sunwater	Auf diesen Beitrag antworten »
der Tipp von Vektorraum hat schon sehr gut geholfen - danke... und wenn man sich mal ansieht, was rauskommen soll liegt es auch nahe, dass $\begin{eqnarray} \lambda(x,y) = v(x) \end{eqnarray}$ ist.
15.11.2008, 11:49	nici83	Auf diesen Beitrag antworten »
hallo, ich versuche die gleiche aufgabe zu lösen. mir ist unklar, wie man den eulerschen multiplikator bestimmt. wärre super, wenn ihr mir das erklären könntet. vielen lieben dank! lg nici
15.11.2008, 11:54	vektorraum	Auf diesen Beitrag antworten »
Der allgemeine Ansatz zur Bestimmung des Multiplikators lautet doch $\begin{eqnarray} (\lambda P)_y=(\lambda Q)_x \end{eqnarray}$ Jetzt kannst du diese Klammern mittels der bekannten Regeln erstmal auflösen und du siehst, dass du die partiellen Ableitungen des Multiplikators brauchst. Nun ist aber $\begin{eqnarray} \lambda_x=\cfrac{d\lambda}{dt}\cdot\cfrac{\partial t}{\partial x} \end{eqnarray}$ und analog für $\begin{eqnarray} \lambda_y \end{eqnarray}$ . Wenn der Eulersche Multiplikator nur von $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ abhängt, dann fallen einige Sachen weg - rechne dazu einfach die partiellen Ableitungen aus...
15.11.2008, 12:21	nici83	Auf diesen Beitrag antworten »
hallo vekrorraum, danke für die schnelle antwort. meinst du das mit"bekannten regeln"? (\lambdaP)y=(\lambdaQ)x \Rightarrow \lambda (Q_x-P_y) wie würde es denn jetzt weitergehen? lg nici
15.11.2008, 12:25	vektorraum	Auf diesen Beitrag antworten »
Damit meine ich einfach $\begin{eqnarray} (\lambda P)_y=\lambda_y P + \lambda P_y \end{eqnarray}$ Produktregel... Mach deine Formeln in die latex - Umgebung.

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