DGL - Bier auslaufen |
| 04.11.2006, 13:56 | Sunwater | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| DGL - Bier auslaufen Ich habe folgende Aufgabe: gegeben sei ein stehender Kreiszylinder mit Radius r > 0 und ein Kegelstumpf der auf der Kreisfläche mit dem Radius r steht und dessen Kreisfläche oben den Radius R>r hat. (also quasi ein Fass und ein Becher). Jetzt ist in beiden Behältern gleich viel Bier, dass durch einen Zapfhahn der unten am Behälter angebracht ist senkrecht ausfließen kann. ich soll jetzt Toricelli's Ausflussgesetz: benutzen um auf eine DGL aufzustellen, die mir dann hilft zu interpretieren, wo das Bier schneller rausläuft... G ist dabei eine Gravitationskonstante. Ich soll eine DGL für die Flüssigkeitshöhe h(t) in Abhängigkeit von der Zeit t herleiten und die dann interpretieren... ( wer die Aufgabe so nicht versteht, kann sie hier nochmal nachlesen - Aufgabe 4). Mein Problem ist, wie ich sowas mache? Ich muss ja jetzt irgendwie Ableitungen reinbekommen, und das mache ich indem ich ganz kleine Änderungen betrachte... meine Idee wäre gewesen: wenn sich die Höhe des Bieres verringert, dann auch die Geschwindigkeit mit der das Bier ausfließt, also die Gleichung: komme ich mit diesem Ansatz auf die DGL? Gibt es allgemein ein Rezept um bei solchen Aufgaben die DGL aufzustellen? - ich weiß da meistens gar nicht wo ich anfangen soll... danke schonmal... |
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| 04.11.2006, 14:13 | Geistermeister | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Du musst es so machen: Die Geschwindigkeit ist die Ableitung von der Höhe nach der Zeit. Es gilt: v = dh/dt Und schon hast du die Differentialgleichung. Dividiere durch die Wurzel aus h und multipliziere mit dt. Die Integration auf beiden Seiten (links nach h und rechts nach t) und anschließende Umformung nach h ergibt die Höhe-Zeit-Funktion. |
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| 04.11.2006, 14:20 | sqrt(2) | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hier ist . |
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| 04.11.2006, 21:37 | Sunwater | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
danke erstmal, aber wie kommt man darauf? |
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| 05.11.2006, 12:07 | Sunwater | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
hab jetzt erstmal die Gleichung h = - 8 G t². damit wäre also die Flüssigkeit beim Becher schneller draußen, weil das Bier ne geringere Höhe hat, aufgrund der größeren "Breite" des Bechers... - stimmt das so? aber weiterhin die Frage - wie kommt man darauf, dass v = - dh / dt ist? |
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| 05.11.2006, 20:33 | Bawk! | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| hm? also bei dem was du da zuletzt hingeschrieben hast kann irgendwas nicht stimmen, G>0, t>0 dann wäre ja h<0 also mindestens noch ne Integrationskonstante addieren. Von der Dimension her ist v ja m/s, und normalerweise ist ja auch geschwindkeit dx/dt |
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| 05.11.2006, 20:42 | vektorraum | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: hm? Hi! Ich hab die Aufgabe auch schon gepostet, weil ich bei dem zweiten Teil nicht weiter komme... Also wir suchen ja eine Funktion für die Höhe h in Abhängigkeit von t. Die Ausflussgeschwindigkeit v wird dabei mit h kleiner. Die Wassermenge -dV, die innerhalb eines Zeitintervalls zwischen t und t+dt durch den Zapfhahn mit der Grundfläche A ausläuft, füllt einen Zylinder der Grundfläche A und der Höhe vdt. Also: Gleichzeitig fehlt dieses Volumen im Zylinder, d.h. dessen Differential ist: Also mit der Formel von oben: Hoffe, dass das stimmt - aber wie gesagt hab ich ja schon für den Zylinder die Lösung, aber mir fällt nix für den zweiten Fall ein. Muss ich die Veränderung der Querschnittsfläche in Abhängigkeit zur Zeit überhaupt berücksichtigen??? |
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