Öl Gefälle

07.07.2010, 00:12

che_che85

Öl Gefälle

Meine Frage:
Hallo,

ich habe gerade ein kleines mathematisches Problem bei einer Aufgabe, sie lautet:

"Let's assume there is enough petroleum left for (a realistic) 100 years, assuming current consumption rate. But how long would petroleum last if we assumed an annual increase in consumption of 4 % due to population and economic growth?"

Für den derzeitigen Öl und Gasverbrauch habe ich einen Wert von ~ $\begin{eqnarray*} 4,95 * 10 ^{10} \end{eqnarray*}$ Barrel (das entspricht ca. $\begin{eqnarray*} 7,87 * 10 ^{10} \end{eqnarray*}$ Liter) gefunden.

Meine Ideen:
Daraus ergibt sich folgende Wachstumsfunktion für den Öl/Gas Verbrauch:

$\begin{eqnarray*} c(t) = 4,95 * 10 ^{10} * 1,04^t \end{eqnarray*}$

Jetzt ist mein Problem wie ich es mit den Reserven (der Menge also die Vorhanden ist) verknüpfe.
Da ja die Annahme ist, das wir bei derzeitigem Verbrauch in 100 Jahren keine Reserven mehr haben, sollten die Reserven $\begin{eqnarray*} 4,95 * 10 ^{12} \end{eqnarray*}$ betragen.
Ich brauche also eine Funktion wo die Reserven vom Vorjahr Minus dem Konsum von diesem Jahr gerechnet wird. Die Funktion muss ich gleich Null setzen können und nach t auflösen können.

Ich kriegs nicht hin.

Vielen Dank für Hilfe.

07.07.2010, 09:28

Kühlkiste

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RE: Öl Gefälle

Zitat:

Original von che_che85
Meine Frage:
Hallo,

ich habe gerade ein kleines mathematisches Problem bei einer Aufgabe, sie lautet:

"Let's assume there is enough petroleum left for (a realistic) 100 years, assuming current consumption rate. But how long would petroleum last if we assumed an annual increase in consumption of 4 % due to population and economic growth?"

Diese Aufgabenstellung beinhaltet bereits alle nötigen Informationen.

Zitat:

Original von che_che85
Für den derzeitigen Öl und Gasverbrauch habe ich einen Wert von ~ $\begin{eqnarray*} 4,95 * 10 ^{10} \end{eqnarray*}$ Barrel (das entspricht ca. $\begin{eqnarray*} 7,87 * 10 ^{10} \end{eqnarray*}$ Liter) gefunden.

Vergiss das!

Mach Dir an einem vereinfachten Beispiel klar, dass es auf die expliziten Verbrauchszahlen gar nicht ankommt:

Angenommen Du hast 100€ und verbrauchst jeden Tag 1€.
Dann wirst Du damit genau 100 Tage auskommen.
Würdest Du aber jeden Tag 4% mehr als am Vortag ausgeben dann wäre das Geld wann aufgebraucht?
Warum liefert Dir die Antwort auf diese Frage auch die Lösung für Deine Aufgabe?

07.07.2010, 09:41

che_che85

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RE: Öl Gefälle
klar kommt da das gleiche raus.

Das schwierige ist für mich eine Formel aufzustellen, nach der ich zu jedem Zeitpunkt t die Menge an Reserven ausrechnen kann. Ich bräuchte doch dann ne Summenformel dafür oder?
Statt 4,95E+10 für den Anfangskonsumwert könnte man auch 1/100 schreiben, klar...

07.07.2010, 09:58

Kühlkiste

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RE: Öl Gefälle
Kennst Du die Summenformel für die geometrische Reihe?

07.07.2010, 10:16

che_che85

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RE: Öl Gefälle
Geometrische Reihe kann doch hier nicht funktionieren oder?

Der Quotient aufeinanderfolgender Glieder ist nicht konstant (für die Reserven).

Beispiel:

Der Quotient für die Jahre 2010-2020:

$\begin{eqnarray*} q = 4,33 *10 ^ {12} / 4,95 *10 ^ {12} = 0,87 \end{eqnarray*}$

Der Quotient für die Jahre 2020-2030:

$\begin{eqnarray*} q = 3,42 *10 ^ {12} / 4,33 * 10 ^ {12} = 0,80 \end{eqnarray*}$

(Mit Excel berechnet)

07.07.2010, 11:31

Kühlkiste

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RE: Öl Gefälle

Zitat:

Original von che_che85
Geometrische Reihe kann doch hier nicht funktionieren oder?

Doch natürlich tut sie das!

Zitat:

Original von che_che85
Der Quotient aufeinanderfolgender Glieder ist nicht konstant (für die Reserven).

Doch das ist er sehr wohl. Der Verbrauch wächst doch jedes Jahr um den konstanten Faktor 1,04 (also 4%).

Nennen wir den gegenwärtigen Verbrauch mal $\begin{eqnarray*} P_0 \end{eqnarray*}$ und sei $\begin{eqnarray*} q:=1,04. \end{eqnarray*}$
Dann steht laut Aufgabenstellung noch eine Gesamtmenge von $\begin{eqnarray*} P=100\cdot P_0 \end{eqnarray*}$ zur Verfügung.
Wann ist nun bei einer jährlichen Verbrauchssteigerung um den konstanten Faktor $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ die Gesamtmenge $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ aufgebraucht?

Das sollte mit der geom. Summenformel im Gepäck kein Problem sein.

Zitat:

Original von che_che85
Beispiel:

Der Quotient für die Jahre 2010-2020:

$\begin{eqnarray*} q = 4,33 *10 ^ {12} / 4,95 *10 ^ {12} = 0,87 \end{eqnarray*}$

Der Quotient für die Jahre 2020-2030:

$\begin{eqnarray*} q = 3,42 *10 ^ {12} / 4,33 * 10 ^ {12} = 0,80 \end{eqnarray*}$

(Mit Excel berechnet)

Was machst Du da? Wo kommen diese Zahlen her? Das hat doch mit der Aufgabenstellung nicht das geringste zu tun!

07.07.2010, 13:12

che_che85

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RE: Öl Gefälle
Hallo,

kann hier leider kein Excel-Dokument anhängen, daher habe ich es Dir als .pdf angehängt, ich hoffe du kannst es trotzdem nachvollziehen.

Die Rechnung ist wie folgt:

Für "consume":

$\begin{eqnarray*} = 4,95 * 10 ^ {10} * 1,04 ^ t \end{eqnarray*}$

Für "reserves"

Letztjähriger "reserves"-Wert MINUS diesjähriger "consume"-Wert

Dies sollte den "reserves"-Wert liefern. Man sieht damit auch das der Wert zwischen den Jahren 2050-2051 den Wert "Null" erreicht. Also zwischen t = 40 bis 41.

Ist es falsch?

Bitte gebe mir eine Formel.

Danke.

07.07.2010, 13:44

Kühlkiste

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RE: Öl Gefälle

Zitat:

Original von Kühlkiste
verwirrt

Was machst Du da? Wo kommen diese Zahlen her? Das hat doch mit der Aufgabenstellung nicht das geringste zu tun!

Nochmal:

Wird eine Verbrauchsmenge $\begin{eqnarray*} P_0 \end{eqnarray*}$ , die sich jährlich um $\begin{eqnarray*} 4% \end{eqnarray*}$ steigert über $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Jahre konsumiert, wieviel wird dann insgesamt konsumiert?

Das ist doch eine simple Frage, deren Beantwortung keiner wüsten, expliziten Startwerte oder gar eines Excel-Spreadsheets bedarf.

Zur Verdeutlichung: Es geht um die Summe

$\begin{eqnarray*} P_0+P_0\cdot q+P_0\cdot q^2+\ldots+P_0\cdot q^n=P_0\sum_{k=0}^nq^k\text{ mit }q:=\frac{26}{25}=1,04 \end{eqnarray*}$

07.07.2010, 14:08

Ehos

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Verwende folgende Bezeichnung

K=vorhandene Ölmenge
R=heutiger jählicher Verbrauch
p=4%=jähliche Zunahme des Verbrauches
q=1+p/100=1,04=Hilfsgröße

Folgende Tabelle zeigt den Ölbestand nach den errsten Jahren (Mache dir das klar!):

1.Jahresende: K-R
2.Jahresende K-R-Rq
3.Jahresende K-R-Rq-Rq²
4.Jahresende K-R-Rq-Rq²-Rq³-...=K-R(1+q+q²+q³+...)
usw.

Die Frage ist also, nach vieviel Jahren (am Jahresende) dieser Ölbestand auf Null ist. Dann muss nämlich gelten

Ko=Ko-R(1+q+q²+q³+...)

Hinweis: Verwende die folgende Formel.

$\begin{eqnarray*} 1+q+q^2+q^3+...+q^{n-1}=\frac{1-q^n}{1-q} \end{eqnarray*}$

07.07.2010, 15:14

che_che85

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Also lautet Deiner Meinung nach die Formel:

$\begin{eqnarray*} K(t)=K_{0}-R_{0} * \frac{1-1,04^t}{1-1,04} \end{eqnarray*}$

ja?

Ein Beispiel damit:

$\begin{eqnarray*} t=20 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} R_{0}=4,95 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} K_{0}=4950 \end{eqnarray*}$

==> $\begin{eqnarray*} K(20)=4950-4,95 * \frac{1-1,04^{20}}{1-1,04}=3420 \end{eqnarray*}$

richtig?

Die Reserven sollten also nach 20 Jahren noch 3420 betragen.

Wenn ich dies jedoch analog mit Excel rechne indem ich einfach den Reservenwert letzten Jahres MNUS dem Konsumwert diesen Jahres rechne um so auf den Reservenwert diesen Jahres zu bekommen, bekomme ich ein Ergebnis von 3480.

Ich habe also gerechnet:

Die Summe vom Konsum von t= 1 bis t=20 MINUS dem Anfangs-Reservewert.

Warum kommen beide Rechnungen nicht aufs gleiche Ergebnis?

07.07.2010, 15:24

Kühlkiste

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Und wieder kann ich Deiner Notation nicht folgen.

Um das Ganze aber so langsam mal auf die Zielgerade zu bringen, folgendes:

$\begin{eqnarray*} \text{Verbrauch nach n Jahren: }P_0\sum_{k=0}^{n-1}q^k=P_0\frac{q^n-1}{q-1} \end{eqnarray*}$

Laut Aufgabenstellung würde bei konstantem Verbrauch der gegenwärtige Vorrat 100 Jahre reichen.
Daraus folgt

$\begin{eqnarray*} \text{Gesamtvorrat: }P=100\cdot P_0 \end{eqnarray*}$

Zu lösen ist also:

$\begin{eqnarray*} \frac{q^n-1}{q-1}=100 \end{eqnarray*}$

Und wir sehen, dass der explizite Verbrauch oder der explizite Gesamtvorrat dafür belanglos sind.

08.07.2010, 00:56

che_che85

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Vielen Dank für die (Nach)-Hilfe!

Ich habe unten nun meine Ergebnisse als .pdf angehängt.
Ich hoffe der Notation kann man folgen.
Wenn noch etwas nicht richtig sein sollte, wäre ich über ein kurzes feedback dankbar.

Alles gute!

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