Funktionenschar mit e - wie ableiten?

07.07.2010, 13:01	Fred Krake	Auf diesen Beitrag antworten »
Funktionenschar mit e - wie ableiten? Meine Frage: Hallo Mathefreunde ! Ich kämpfe mich gerade durch die MINT Aufgaben Analysis 2009, erhöhtes Niveau, weil ich Mathe LK habe. Dort wird eine Funktionenschar gegeben mit: $\begin{eqnarray} <br /> f_{k}(t)=k\frac{e^{t} }{(1+e^{t})^2 } <br /> k>0,t\geq 0<br /> \end{eqnarray}$ Meine Frage ist: Kann man solche komplizierten Funktionen wirklich nur über die Produkt-, Ketten- und Quotientenregel ableiten? Das werden bei mir riiiiesige Brüche mit einem hohen Fehlerpotential und dauert ewig! Ich kann mir gar nicht vorstellen, dass man dazu in der Prüfung Zeit hat? Meine Ideen:* Die erste Ableitung bekomme ich noch mit viel rechnen hin: $\begin{eqnarray} <br /> f'_{k}(t)=k\frac{e^{t}(1-e^{t}) }{(1+e^{t})^3 } <br /> \end{eqnarray*}$ Für die zweite Ableitung habe ich mir im Netz die Lösung geholt und versuche sie nachzuvollziehen, schaffe es aber nicht. Ich hoffe, mir kann einer helfen. Ich würde nur gerne wissen, ob man sich da durchbeißen muss, oder ob es einen einfacheren Weg gibt. Tausend Dank!!! PS: Ich bin an einer Fernschule und mache nächstes Jahr Abi. Ich habe also keinen Lehrer, den ich mal eben fragen könnte. :-)
07.07.2010, 13:18	Airblader	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, über diese Regeln geht das. Problemlos. Und so schwer wird das nicht. Den Zähler würde ich an deiner Stelle aber ausmultiplizieren, um dir eine Anwendung der Produktregel zu sparen. Für die zweite Ableitung brauchst du daher eigentlich nicht viel. Fang doch einfach mal an und wir schauen was stimmt und wo es vielleicht falsch wird. air
07.07.2010, 14:56	Fred Krake	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi Air, dann mute ich Dir das mal zu: $\begin{eqnarray} <br /> f'_{k}(t)=k\frac{e^{t}(1-e^{t})}{(1+e^{t})^3}=k\frac{e^{t}-e^{2t}}{(1+e^{t})^3}<br /> <br /> \Rightarrow f''_{k}(t)=k\frac{[e^{t}-e^{2t}]'(1+e^{t})^3-(e^{t}-e^{2t})[(1+e^{t})^3]'}{(1+e^{t})^6}<br /> <br /> =k\frac{(e^{t}-2e^{2t})(1+e^{t})^3-(e^{t}-e^{2t})3(1+e^{t})^2e^{t}}{(1+e^{t})^6}<br /> <br /> =k\frac{(e^{t}-2e^{2t})(1+e^{t})-(e^{t}-e^{2t})3e^{t}}{(1+e^{t})^4}<br /> <br /> \end{eqnarray}$ Erst mal so weit - ist das bis hierher richtig?? Du hast Recht, durch das Ausmultiplizieren am Anfang ist es schon weniger geworden. Wie geht es nun sinnvoll weiter, sollte ich das am Ende wieder Ausmultiplizieren?? Danke!
07.07.2010, 15:03	Airblader	Auf diesen Beitrag antworten »
Soweit ist alles schonmal richtig, bis auf eine kleine Zahl. Im ersten Summanden des Zählers machst du $\begin{eqnarray} (e^{2t})' = 4e^{2t} \end{eqnarray}$ , das ist natürlich nicht ganz richtig - da muss eine '2' stehen. air
07.07.2010, 15:08	Fred Krake	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, ich habs gerade noch im Beitrag berichtigt, war mir gerade aufgefallen. Aber wie mache ich jetzt weiter, lässt man den Term so stehen? Wenn man davon die dritte Ableitung machen muss, flippt man ja aus!! Wieso ist eigentlich $\begin{eqnarray} (e^{2t})'=2e^{2t} \end{eqnarray}$ , kannst Du mir das noch erklären? Ich habs im Netz ausrechnen lassen, aber das hilft ja nicht.
07.07.2010, 15:13	Airblader	Auf diesen Beitrag antworten »
Du kannst den Zähler ruhig ausmultiplizieren und zusammenfassen. Ist weder viel Arbeit, noch bleibt etwas total Kompliziertes dabei stehen. Zur Frage: $\begin{eqnarray} f(x) = e^x \end{eqnarray}$ ist eine Funktion, die gleich ihrer Ableitung ist, d.h. $\begin{eqnarray} f'(x) = f(x) = e^x \end{eqnarray}$ . Um jetzt $\begin{eqnarray} h(x) = f(2x) = e^{2x} \end{eqnarray}$ abzuleiten brauchst du lediglich die Kettenregel. air
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07.07.2010, 15:27	Fred Krake	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann komme ich auf: $\begin{eqnarray} <br /> f''_{k}(t)=k\frac{e^{t}+e^{2t}-2e^{2t}-2e^{3t}-3e^{2t}+3e^{3t}}{(1+e^{t})^4}<br /> =k\frac{e^{t}-4e^{2t}+e^{3t}}{(1+e^{t})^4}<br /> \end{eqnarray}$ Richtig? Ich kann doch die e's nicht wieter Zusammenfassen, oder? Nochmals vielen Dank, ich bin froh, dass ich mal jemanden fragen konnte! Fred
07.07.2010, 15:33	Airblader	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, das ist korrekt Und wenn man jetzt noch die dritte Ableitung benötigt hat man ein wenig mehr als vorher, aber nicht besonders viel. e-Funktionen leiten sich ja einfach ab. air

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