Integrationskonstante

07.07.2010, 15:22

ElBanditos

Integrationskonstante

Hallo,

ich würde gern einen Tip bekommen wie mit C bei folgender Aufgabe umgehe:

Aufgabenstellung:

$\begin{eqnarray*} y'+y=x \wedge y(0)=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y=u \cdot v \wedge Y=u' \cdot v+u \cdot v' \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} v=e^{-x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u=e^x \cdot (x-1) \end{eqnarray*}$

wie bring ich nun am besten die Konstante ins Spiel

Mein Ansatz:
$\begin{eqnarray*} y= u \cdot v + C = e^x \cdot (x-1) \cdot e^{-x}+ C \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} y(0)=1 \end{eqnarray*}$

ist mein $\begin{eqnarray*} C=0 \end{eqnarray*}$

Kann man das so machen?

Grüße ElBanditos

07.07.2010, 15:39

Mulder

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RE: Integrationskonstante
Dieses u hast du durch partielle Integration bestimmt, ja (dein Aufschrieb ist etwas befremdlich)? Dann ergibt sich auch dort die Integrationskonstante und der Ansatz ist

$\begin{eqnarray*} y=(u +C ) \cdot v = (e^x \cdot (x-1) +C) \cdot e^{-x} \end{eqnarray*}$

Deine eigenen Lösungen kannst du ja immer ganz leicht überprüfen, indem du es einsetzt. Für C=0 ergibt sich nicht y(0)=1.

07.07.2010, 16:08

ElBanditos

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RE: Integrationskonstante
Richtig das u hab ich mit partieller Intr. ermittelt. Danke für deine Antwort. Ist das generell so das dann dort die Konstante hinzugefügt wird oder gibt es auch dort Regeln?

edit: wie meinst du das mit dem einsetzen von C=0?

07.07.2010, 16:18

Mulder

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RE: Integrationskonstante
Na, einfach in die gefundenen Lösungen einsetzen und gucken, ob auch alles stimmt.

Zitat:

Original von ElBanditos
Mein Ansatz:
$\begin{eqnarray*} y= u \cdot v + C = e^x \cdot (x-1) \cdot e^{-x}+ C \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} y(0)=1 \end{eqnarray*}$

ist mein $\begin{eqnarray*} C=0 \end{eqnarray*}$

Angenommen, das wäre die richtige Lösung (ist sie nicht, das hatten wir ja gerade). Dann muss ja auch für C=0 gelten, dass y(0)=1 ist. Also mal einsetzen:

$\begin{eqnarray*} y(0) = e^0 \cdot (0-1) \cdot e^{-0}+ 0 = -1 \neq 1 \end{eqnarray*}$

Haut also nicht hin.

Und zu deiner Frage mit den Konstanten: Ich dachte, das wäre jetzt klar. Du kannst nicht einfach beliebig irgendwo Konstanten hinklatschen. Integrationskonstanten ergeben sich logischerweise nur beim Integrieren.

Hast du denn nun ein passendes C bestimmen können?

07.07.2010, 16:43

ElBanditos

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AH... ich habe einen Fehler beim Umstellen nach C gemacht.

C=2 und dann klappt´s auch mit der Probe Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} y(0)=e^0 \cdot (0-1) \cdot e^{0} + 2 =1 \end{eqnarray*}$

Danke für deine Hilfe!

07.07.2010, 17:00

Mulder

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RE: Integrationskonstante
Du hast nicht zugehört, so ist es immer noch falsch, weil du das C falsch eingesetzt hast. Zwar erfüllt dein y jetzt das y(0)=1, aber es gibt unendlich viele Funktionen, die das tun. Dein y erfüllt schlicht die DGL nicht. Du hast nun

$\begin{eqnarray*} y=e^x(x-1)e^{-x} +2 = x+1 \end{eqnarray*}$

Das erfüllt nie und nimmer die DGL, denn dann ist y'=1 und damit

$\begin{eqnarray*} y'+y= x+2 \neq x \end{eqnarray*}$

Du findest mit partieller Integration:

$\begin{eqnarray*} u = \int xe^x \dx = e^x(x-1) +C \end{eqnarray*}$

Das kannst du nun in dein Zwischenresultat einsetzen:

$\begin{eqnarray*} y=u \cdot v = (e^x(x-1)+C) \cdot e^{-x} \end{eqnarray*}$

Das erfüllt auch die inhomogene DGL. Nun kannst du das vereinfachen und DANN das C so bestimmen, dass es auch das AWP erfüllt.

Dein C stimmt zwar zufällig, aber du hast es ermittelt, indem du in ein falsches y eingesetzt hast.

07.07.2010, 17:16

ElBanditos

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also wenn ich dich richtig verstanden habe, muss ich in Zukunft aufpassen das ich die Konstante C an der richtigen Stelle einsetze und vorallem auch beim Vereinfachen richtig mit ihr umgehe, ich bin bisher davon ausgegangen das die Konstante einfach am Ende der Rechnung dazu addiert werden kann, da war ich wohl gewaltig auf dem Holzweg unglücklich