Stetigkeit

07.07.2010, 18:48

F4lk3

Stetigkeit

Meine Frage:
Zeigen Sie bitte, dass

$\begin{eqnarray*} f : \mathbb R ^{2} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} -> \left\{ \begin{pmatrix} \frac{x^{4}-y^{4} }{x^{2}+y^{2} } , (x,y) \neq 0_{R^{2} } \\ 0 , (x,y) = 0_{R^{2} } \end{pmatrix} \right\} \end{eqnarray*}$

auf ganz $\begin{eqnarray*} {R}^2 \end{eqnarray*}$ stetig ist.

Ich wollte wissen, wann die Funktion sich stetig Ergänzen lässt. Geht das mit l´hopital (bei 2 Variablen) oder sollte ich die Funktion faktorisieren? Und die Stelle so finden, an dies möglich ist.

Meine Ideen:
Also ich mache es mit der Polarkoordinatenform:

x:= rcos( $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ )
y:= rsin( $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ )

ich lasse dann $\begin{eqnarray*} \lim_{r \to 0} r^{2}(\cos(\alpha ) ^{4}- \sin(\alpha ) ^{4}) \end{eqnarray*}$
und bekomme 0 raus. Und damit hab ich gezeigt, dass die Funktion in jedem Punkt stetig ist oder?

07.07.2010, 19:44

Cel

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Ich denke, dass das so in Ordnung ist. Freude

Das zeigt aber nur die Stetigkeit im Nullpunkt. Dass die Funktion auch sonst stetig ist, sollte klar sein.

07.07.2010, 23:55

Gastmathematiker

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RE: Stetigkeit

Zitat:

Original von F4lk3
Ich wollte wissen, wann die Funktion sich stetig Ergänzen lässt. Geht das mit l´hopital (bei 2 Variablen)

Nein, das geht nicht.

Zitat:

Original von F4lk3
Also ich mache es mit der Polarkoordinatenform:

x:= rcos( $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ )
y:= rsin( $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ )

ich lasse dann $\begin{eqnarray*} \lim_{r \to 0} r^{2}(\cos(\alpha ) ^{4}- \sin(\alpha ) ^{4}) \end{eqnarray*}$
und bekomme 0 raus. Und damit hab ich gezeigt, dass die Funktion in jedem Punkt stetig ist oder?

Da solltest du noch mehr zu sagen, wenn man z.B.
$\begin{eqnarray*} f : \mathbb R ^{2} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} -> \left\{ \begin{pmatrix} \frac{xy^{2} }{x^{2}+y^{4} } , (x,y) \neq 0_{R^{2} } \\ 0 , (x,y) = 0_{R^{2} } \end{pmatrix} \right\} \end{eqnarray*}$ betrachtest,
so ist diese Funktion nicht stetig. Für jedes $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ gilt aber
$\begin{eqnarray*} \lim_{r \to 0} \frac{r^{3}\cos(\alpha)\sin^2(\alpha) }{r^{2}\cos^2(\alpha)+r^{4}\sin^4(\alpha)}=0 \end{eqnarray*}$ .

Man kann so leider nicht erkennen, ob du eigentlich etwas falsches machst oder du das nur schlampig aufgeschrieben hast.

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