Fallunterscheidung bei Betragsungleichung

04.11.2006, 15:24	dj_mathe	Auf diesen Beitrag antworten »
Fallunterscheidung bei Betragsungleichung Hi mein Matheprof hat letztens bei dieser Betragsungleichung $\begin{eqnarray} M = \{ x \in R\|\left\| {x - 1} \right\| + \left\| {x + 3} \right\| < \left\| {x - 5} \right\|\} \end{eqnarray}$ folgende Fallunterscheidung gemacht: Fall 1) $\begin{eqnarray} x > 5 \end{eqnarray}$ 2) $\begin{eqnarray} 1 < x \le 5 \end{eqnarray}$ 3) $\begin{eqnarray} - 3 < x \le 1 \end{eqnarray}$ 4) $\begin{eqnarray} x \le - 3 \end{eqnarray}$ Und ich würde gerne wissen, wie man darauf kommt. Vielen Dank im Vorraus für jede Hilfe! Christoph
04.11.2006, 15:37	sqrt(2)	Auf diesen Beitrag antworten »
-3, 1 und 5 sind eben die Stellen, an denen die Beträge "umspringen". Du kannst es auch ausführlich machen und folgendes unterscheiden: $\begin{eqnarray} x \leq -3~\wedge~x \leq 1~\wedge~x \leq 5 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x \leq -3~\wedge~x \leq 1~\wedge~x > 5 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x \leq -3~\wedge~x > 1~\wedge~x \leq 5 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x \leq -3~\wedge~x > 1~\wedge~x > 5 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x > -3~\wedge~x \leq 1~\wedge~x \leq 5 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x > -3~\wedge~x \leq 1~\wedge~x > 5 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x > -3~\wedge~x > 1~\wedge~x \leq 5 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x > -3~\wedge~x > 1~\wedge~x > 5 \end{eqnarray}$ Du stellst fest, dass b, c, d, und f sich widersprechen, man kann a auch auf $\begin{eqnarray} x \leq -3 \end{eqnarray}$ , e auf $\begin{eqnarray} -3<x\leq1 \end{eqnarray}$ , g auf $\begin{eqnarray} 1<x\leq5 \end{eqnarray}$ und h auf $\begin{eqnarray} x>5 \end{eqnarray}$ bringen. Damit hat man dann deine Fallunterscheidungen.
04.11.2006, 15:37	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Verschoben
04.11.2006, 16:33	dj_mathe	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi! Ich weiß nicht, ob ich zu dumm bin, dafür, aber ich rall das nicht. Ich verstehe noch nicht mal, was das Ziel eienr Fallunterscheidung ist. Und wenn man zb. den Fall a nimmt. Heisst das die Ungleichung stimmt für $\begin{eqnarray} M = \{ x \in R\|\left\| {(x \le 1) - 1} \right\| + \left\| {(x \le - 3) + 3} \right\| < \left\| {(x \le 5) - 5} \right\|\} \end{eqnarray}$ Ich dachte immer, mann müsste im selben Durchlauf immer dasselbe für x einsetzen. Aber z.b. Macht ja der Fall x>5 $\begin{eqnarray} M = \{ x \in R\|\left\| {({\rm{x > 5}}) - 1} \right\| + \left\| {({\rm{x > 5}}) + 3} \right\| < \left\| {({\rm{x > 5}}) - 5} \right\|\} \end{eqnarray}$ auch keinen Sinn. Christoph
05.11.2006, 03:07	sqrt(2)	Auf diesen Beitrag antworten »
Deine Notation ist irgendwie kaputt. Ich verstehe dein Problem auch nicht. Um irgendwelches Einsetzen geht es gar nicht. Man muss nur für $\begin{eqnarray} \|a\| \end{eqnarray}$ eine Fallunterscheidung nach $\begin{eqnarray} a\leq0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} a>0 \end{eqnarray}$ treffen, und das für jeden Betrag.
05.11.2006, 13:14	dj_mathe	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, aber inwiefern führen denn die Fälle a-h zu einer Lösung der Ungleichung? Christoph
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