tschebyscheff'schen Ungleichung - 3 Varianten??

07.07.2010, 19:56

Samyy

tschebyscheff'schen Ungleichung - 3 Varianten??

Hallo,

in der Vorlesung hatten wir 3 verschiedene Varianten von der tschebyscheff'schen Ungleichung. Problem dabei ist nur: ich verstehe nix und Google hilft mir nicht sonderlich viel dabei. Versteht's einer von Euch? Kann mir das mal jemand erklären, wann ich was nehme und warum??

Variante I:
P(|x| größer gleich k) kleiner gleich E(x²) / k²

Variante II:
P(|x - u| gr. gleich k) kleiner gleich Varianz / k²

Variante III:
P(|x - u| gr. gleich k * Standardabweichung) kleiner gleich 1 / k²

Ich fress nen Besen, wenn mir das mal jemand erklären kann ...
Danke!

07.07.2010, 20:15

Auf diesen Beitrag antworten »

Erstmal lesbar und vollständig (!) schreiben: Mit $\begin{eqnarray*} \mu=E(X) \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} \sigma^2 = \operatorname{var}(X) \end{eqnarray*}$ gilt für alle positiven reellen Zahlen $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (I) \qquad P(|Y| \geq k) \leq \frac{E(Y^2)}{k^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (II) \qquad P(|X-\mu| \geq k) \leq \frac{\sigma^2}{k^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (III) \qquad P(|X-\mu| \geq k'\cdot\sigma) \leq \frac{1}{k'^2} \end{eqnarray*}$

Nun im einzelnen:

(I) ist die allgemeine Grundvariante. Setzt man da speziell $\begin{eqnarray*} Y=X-E(X)=X-\mu \end{eqnarray*}$ ein, ergibt sich (II).

(II) und (III) wiederum sind äquivalent, denn wenn man (II) für $\begin{eqnarray*} k=k'\cdot \sigma \end{eqnarray*}$ nutzt, ist das (III).

08.07.2010, 17:12

Samyy

Auf diesen Beitrag antworten »

danke erstmal. jetzt weiss ich wie ich auf die einzelnen varianten komme, aber verstanden hab ichs immernoch nicht. kannst du auch erklären, wofür die einzelnen terme nun genau stehen und was man damit bewirkt?

08.07.2010, 19:07

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Samyy
kannst du auch erklären, wofür die einzelnen terme nun genau stehen

Das klingt, als hast du einen Gro0teil der Vorlesung geschwänzt.

So pauschal lehne ich dieses Ansinnen ab. Welcher Teil ist denn unklar - sag jetzt bloß nicht "alles", das nehme ich dir nicht ab.

08.07.2010, 20:17

Samyy

Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, geschwänzt habe ich nichts - mein Professor ist einfach nur unfähig. Und was heisst hier "alles"? Ich hab' keine unspezifische Frage gestellt: "... wofür die einzelnen terme nun genau stehen" ... klar weiss ich, dass sigma² für Varianz steht, aber wofür steht denn z.B. |X-u| ?? Ist das der Wert bzw. die Differenz von einem Merkmalswert (X) und des Grundgesamtheitsmittelwerts (u)? Wieso wird er in Betrag gesetzt (wegen den negativen X-Wertem?)? Und überhaupt: Was soll mir das sagen? Dann k ... was soll denn nun k genau sein? "gilt für alle positiven reellen Zahlen k": da kann ich mir ein eis draus backen ... das versteht doch keiner so ...

08.07.2010, 20:29

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ ist eine Zufallsgröße, um die es geht, und $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ deren Erwartungswert - letzteres habe ich oben schon mal geschrieben.

Zitat:

Original von Samyy
Wieso wird er in Betrag gesetzt

Wieso nicht? Bzw. - um ein anderes Beispiel zu bemühen - wieso betrachtet man in der binomischen Formel einen Term wie $\begin{eqnarray*} (a+b)^2 \end{eqnarray*}$ ?

Das sind irrelevante Fragen: Man tut es einfach! D.h. im vorliegenden Fall geht es um die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses $\begin{eqnarray*} |X-\mu| \geq k \end{eqnarray*}$ , in Worten: Dass $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ um mindestens den Betrag $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ abweicht.

Zitat:

Original von Samyy
Was soll mir das sagen? Dann k ... was soll denn nun k genau sein? "gilt für alle positiven reellen Zahlen k"

So richtig wird es wohl erst in der Anwendung verständlich, z.B. bei Fragen wie dieser hier

Schätzer / Schätzfunktion konsistent?

Zitat:

Original von Samyy
da kann ich mir ein eis draus backen ... das versteht doch keiner so ...

Schließ nicht von dir auf andere - mit dieser Schnoddrigkeit kommst du nicht weiter, sondern nur mit ehrlichem Bemühen.

08.07.2010, 20:48

Samyy

Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, mit deiner letzten Antwort hab ichs nun verstanden. Danke dafür. Mit Schnoddrigkeit und ehrlichem Bemühen hat das Ganze übrigens weniger zu tun, sondern einfach mehr mit fehlenden Vorkenntnissen, die mir auch nicht gegeben wurden und die ich mir aus keins meiner Bücher holen konnte ...

Neue Frage »

Antworten »

tschebyscheff'schen Ungleichung - 3 Varianten??

Verwandte Themen