Schätzer / Schätzfunktion konsistent?

07.07.2010, 23:34

Babsi_Gast

Schätzer / Schätzfunktion konsistent?

Meine Frage:
Hallo zusammen!

Seien $\begin{eqnarray*} X_i \end{eqnarray*}$ unabhängige, identisch verteilte Zufallsvariablen mit Dichte $\begin{eqnarray*} f(x)=a \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ zwischen 0 und 10, $\begin{eqnarray*} f(x)=0.1 - a \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ zwischen 10 und 20, $\begin{eqnarray*} f(x)=0 \end{eqnarray*}$ sonst.

Ist der Schätzer $\begin{eqnarray*} T=\frac{1}{10n}\sum_{i=1}^{n}1_{[0,10]}(X_i) \end{eqnarray*}$ konsistent (in der Summe steht die Indikatorfunktion)?

Meine Ideen:
Ich habe bereits gezeigt, dass der Schätzer erwartungstreu für $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ ist. Für Konsistenz muss gelten:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\rightarrow\infty}P\left( |T-a|\geq \varepsilon \right)=0 \end{eqnarray*}$

Das Argument lässt sich umformen:

$\begin{eqnarray*} P\left( |T-a|\geq \varepsilon \right) = P\left( T \geq a + \varepsilon \right) + P\left( T \leq a - \varepsilon \right) = 1 - P\left( T \leq a + \varepsilon \right) + P\left( T \leq a - \varepsilon \right) \end{eqnarray*}$

In eine der beiden Wahrscheinlichkeiten setze ich alle Infos ein und die zweite geht analog:

$\begin{eqnarray*} P\left( T \leq a + \varepsilon \right) =P\left( \frac{1}{10n}\sum_{i=1}^{n}1_{[0,10]}(x) \leq a + \varepsilon \right) = P\left( \sum_{i=1}^{n}1_{[0,10]}(x) \leq 10n \cdot (a + \varepsilon) \right) \end{eqnarray*}$

Ich würde gern einen Ausdruck $\begin{eqnarray*} P(X \leq \mathrm{irgendwas})=\int_{-\infty}^{\mathrm{irgendwas}}f(x)\;dx \end{eqnarray*}$ haben und diesen integrieren. Ist das eine gute Idee? Leider kann ich oben die Summe der Indikatorfunktion nicht weiter umformen; wie macht man das?

Viele Grüße,
Barbara

08.07.2010, 11:31

Huggy

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RE: Schätzer / Schätzfunktion konsistent?

Zitat:

Original von Babsi_Gast
Ich würde gern einen Ausdruck $\begin{eqnarray*} P(X \leq \mathrm{irgendwas})=\int_{-\infty}^{\mathrm{irgendwas}}f(x)\;dx \end{eqnarray*}$ haben und diesen integrieren. Ist das eine gute Idee? Leider kann ich oben die Summe der Indikatorfunktion nicht weiter umformen; wie macht man das?

Weshalb kannst du die Summe nicht umformen???

Es ist doch einfach

$\begin{eqnarray*} S=\sum_{i=1}^{n}1_{[0,10]}(X_i) \end{eqnarray*}$

die Anzahl der $\begin{eqnarray*} X_i \end{eqnarray*}$ im Intervall [0,10]. Die Wahrscheinlichkeit, dass $\begin{eqnarray*} X_i \end{eqnarray*}$ in diesem Intervall liegt, kannst du leicht ausrechnen. Und da die $\begin{eqnarray*} X_i \end{eqnarray*}$ unabhängig sind, ergibt sich

$\begin{eqnarray*} P(S=k) \end{eqnarray*}$

aus der Binomialverteilung. Auf die darfst du für $\begin{eqnarray*} n \to \infty \end{eqnarray*}$ den Grenzwertsatz von Moivre-Laplace anwenden. Für T ergibt sich daraus bei $\begin{eqnarray*} n \to \infty \end{eqnarray*}$ eine Normalverteilung mit $\begin{eqnarray*} \mu = a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ proportional zu $\begin{eqnarray*} 1/\sqrt n \end{eqnarray*}$ .

08.07.2010, 12:00

Babsi_Gast

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RE: Schätzer / Schätzfunktion konsistent?

Zitat:

Original von Huggy
Weshalb kannst du die Summe nicht umformen???

Es ist doch einfach

$\begin{eqnarray*} S=\sum_{i=1}^{n}1_{[0,10]}(X_i) \end{eqnarray*}$

die Anzahl der $\begin{eqnarray*} X_i \end{eqnarray*}$ im Intervall [0,10]. Die Wahrscheinlichkeit, dass $\begin{eqnarray*} X_i \end{eqnarray*}$ in diesem Intervall liegt, kannst du leicht ausrechnen.

Also Wahrscheinlichkeit, dass $\begin{eqnarray*} X_i \end{eqnarray*}$ in diesem Intervall liegt ist

$\begin{eqnarray*} P(X\leq10)=\int_{0}^{10}a\;dx=10a \end{eqnarray*}$

Für die Summe der $\begin{eqnarray*} X_i \end{eqnarray*}$ zwischen 0 und 10 erwarten wir also $\begin{eqnarray*} S=10a \cdot n \end{eqnarray*}$ .

Nun greife ich meine ursprunglichen Gedankengang auf und setze ein:

$\begin{eqnarray*} P\left( \sum_{i=1}^{n}1_{[0,10]}(x) \leq 10n \cdot (a + \varepsilon) \right)=P\left( 10a \cdot n \leq 10n \cdot (a + \varepsilon) \right) \end{eqnarray*}$

Allerdings ist das Argument nun witzlos und enthält kein $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ mehr! Ich verstehe Deinen weiteren Ausfürhungen nicht ganz unglücklich

08.07.2010, 12:01

Babsi_Gast

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RE: Schätzer / Schätzfunktion konsistent?
Danke erstmal!! smile

Zitat:

08.07.2010, 13:03

Huggy

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RE: Schätzer / Schätzfunktion konsistent?
S und T sind doch Zufallsgrößen. Wenn du für die Wahrscheinlichkeiten ausrechnen willst, musst du ihre Verteilungsfunktion benutzen. Du hast aber den Erwartungswert von S benutzt und nicht die Verteilungsfunktion von S.

Geh doch mal schrittweise vor:
- Schreibe die Verteilungsfunktion bzw. die Wahrscheinlichkeitsfunktion von S auf.
- Wende auf diese den Grenzwertsatz von Moivre-Laplace an
- Übertrage das Ergebnis auf T

Mit dem Ergebnis kannst du dann in

$\begin{eqnarray*} P(|(T-a)\geq \epsilon |)=? \end{eqnarray*}$ oder alternativ $\begin{eqnarray*} P(|(T-a)\leq \epsilon |)=? \end{eqnarray*}$

arbeiten. Falls bei euch gefordert, kannst du zum Schluss daraus eine saubere Epsilontik machen.

08.07.2010, 13:57

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Anmerkung: Für derartige Abschätzungen, wie sie hier nötig sind, bietet sich auch die Tschebyscheffsche Ungleichung an.

08.07.2010, 14:37

Huggy

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@ Arthur
Danke für den Hinweis!

@ Babsi
Mit dem Hinweis von Arthur geht es noch einfacher und direkter.

08.07.2010, 18:45

Babsi_Gast

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RE: Schätzer / Schätzfunktion konsistent?

Zitat:

Original von Huggy
S und T sind doch Zufallsgrößen. Wenn du für die Wahrscheinlichkeiten ausrechnen willst, musst du ihre Verteilungsfunktion benutzen. Du hast aber den Erwartungswert von S benutzt und nicht die Verteilungsfunktion von S.

Die Wahrscheinlichkeit, dass $\begin{eqnarray*} X_i \end{eqnarray*}$ im Intervall liegt ist also $\begin{eqnarray*} p=10a \end{eqnarray*}$ . Dann ist das Summieren der $\begin{eqnarray*} X_i \end{eqnarray*}$ in diesem Intervall ein Bernoulli-Prozess ( $\begin{eqnarray*} k=10n\cdot (a+\varepsilon) \end{eqnarray*}$ ) und die Wahrscheinlichkeit, dass

$\begin{eqnarray*} P(S=k)= {n \choose k} p^k (1-p)^{n-k} \end{eqnarray*}$

Daher gilt auch

$\begin{eqnarray*} P(S \leq k)= \sum_{k=0}^{n} {n \choose k} p^k (1-p)^{n-k} \end{eqnarray*}$

Für große n gilt die Näherung:

$\begin{eqnarray*} P(S \leq k)=P\left(\frac{S-\mu}{\sigma} \leq \frac{k-\mu}{\sigma}\right) \approx \Phi\left(\frac{k-\mu}{\sigma} \right)=\Phi\left(\frac{10n\cdot (a+\varepsilon)-10a\cdot n}{\sqrt{10a \cdot n (1-10a)}} \right)=\Phi\left(\frac{10n\cdot \varepsilon}{\sqrt{10n}\sqrt{a (1-10a)}} \right)=\Phi\left(\frac{\sqrt{10n}\cdot \varepsilon}{\sqrt{a (1-10a)}} \right) \end{eqnarray*}$

Wenn ich mich nun erinner, dass

$\begin{eqnarray*} P\left( |T-a|\geq \varepsilon \right) = 1 - P\left( T \leq a + \varepsilon \right) + P\left( T \leq a - \varepsilon \right)\approx 1 - \Phi\left(\frac{\sqrt{10n}\cdot \varepsilon}{\sqrt{a (1-10a)}} \right) + \Phi\left(-\frac{\sqrt{10n}\cdot \varepsilon}{\sqrt{a (1-10a)}} \right)=1 - \Phi\left(\frac{\sqrt{10n}\cdot \varepsilon}{\sqrt{a (1-10a)}} \right) + 1 - \Phi\left(\frac{\sqrt{10n}\cdot \varepsilon}{\sqrt{a (1-10a)}} \right)=2-2\Phi\left(\frac{\sqrt{10n}\cdot \varepsilon}{\sqrt{a (1-10a)}} \right) \end{eqnarray*}$

Im Grenzwert für n gegen unendlich wird das Argument auch unendlich und die Phi-Verteilung damit 1 und die Wahrscheinlichkeit insgesamt 0. Der Schätzer ist konsistent!!! Welche Fehler habe ich dabei begangen??? smile

Den Weg mit Tschebyscheffprobier ich auch gleich mal...

08.07.2010, 21:14

Huggy

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RE: Schätzer / Schätzfunktion konsistent?
Mir ist zwar nicht klar, wie das $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ in den Ausdruck für $\begin{eqnarray*} P(S \leq k) \end{eqnarray*}$ kommt, aber die Zeile darunter für T stimmt offenbar. Freude

Nur ist das ganze bei mir auf dem Bildschirm scheußlich zu lesen, weil ich endlos waagrecht scrollen muss.

08.07.2010, 21:55

Babsi_Gast

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RE: Schätzer / Schätzfunktion konsistent?
In meinem allerersten Eintrag in dieser Diskussion habe ich eine Ungleichung aufgestellt, in welcher links über die Indikatorfunktion summiert wird (später als $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ bezeichnet) und rechts steht die obere Grenze, in welcher eben auch Epsilon steht; daher kommt es...

Hab sein neuestem einen riesigen Monitor an meinem Netbook und daher seh ich alles ( völlig ignorant smile

) ohne horizontales Scrollen... Sorry smile

09.07.2010, 08:22

Huggy

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RE: Schätzer / Schätzfunktion konsistent?

Zitat:

Original von Babsi_Gast
Hab sein neuestem einen riesigen Monitor an meinem Netbook

Ich habe es ja geahnt: Die Studenten sind die wahren Reichen. Big Laugh

Er sei dir gegönnt. Wenn in der meist ungeliebten Stochastik bei jemandem die Aufgabe nach einem kleinen Schubser flutscht, soll man nicht über die Zeilenlänge meckern. smile

09.07.2010, 11:02

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RE: Schätzer / Schätzfunktion konsistent?
Ich gebe allerdings bei obigem Weg zu bedenken, dass streng mathematisch gesehen eine Lücke ist:

Die Normalverteilung ist lediglich eine Approximation der hier vorliegenden Binomialverteilung, keine echte Abschätzung nach oben. Wenn nun die Approximation für $\begin{eqnarray*} n\to\infty \end{eqnarray*}$ gegen Null geht, dann bedarf es schon noch einer Begründung, warum das für die eigentliche Rechnung mit Binomialverteilung auch noch gelten soll.

Hier noch in aller Kürze der Tschebyscheff-Weg: Wie oben bereits mehrfach erwähnt, gilt $\begin{eqnarray*} S = 10nT \sim B(n,p) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} p=10a \end{eqnarray*}$ , daraus ergibt sich

$\begin{eqnarray*} E(T) = \frac{np}{10n} = a,\qquad \operatorname{var}(T) = \frac{np(1-p)}{100n^2} = \frac{a(1-10a)}{10n} \end{eqnarray*}$ .

Eingesetzt in Tschebyscheff $\begin{eqnarray*} P(|T-E(T)| \geq \varepsilon) \leq \frac{\operatorname{var}(T)}{\varepsilon^2} \end{eqnarray*}$ heißt das

$\begin{eqnarray*} P(|T-a| \geq \varepsilon) \leq \frac{a(1-10a)}{10\varepsilon^2 n} \end{eqnarray*}$ ,

wobei die rechte Seite (und damit auch die linke) für $\begin{eqnarray*} n\to\infty \end{eqnarray*}$ gegen Null konvergiert.

Ein weiterer Vorteil dieses Weges ist, dass die Formeln sehr moderat in der Länge bleiben. Augenzwinkern

09.07.2010, 12:22

Huggy

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RE: Schätzer / Schätzfunktion konsistent?

Zitat:

Original von Arthur Dent
Ich gebe allerdings bei obigem Weg zu bedenken, dass streng mathematisch gesehen eine Lücke ist:

Richtig. Das meinte ich, wenn ich oben schrieb:

Zitat:

Falls bei euch gefordert, kannst du zum Schluss daraus eine saubere Epsilontik machen.

Die Lücke ist auch leicht zu schließen. Es ist ja zu der Abschätzung über die Normalverteilung nur der Fehler zu addieren, der durch die Approximation entsteht und der geht mit wachsendem n auch gegen Null.
Das ändert nichts daran, dass der Weg über die Tschebyscheff-Ungleichung einfacher und deshalb vorzuziehen ist.

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