Isomorphismus, Satz von Cayley

08.07.2010, 13:22

howdy

Isomorphismus, Satz von Cayley

Hallo Matheboard,

ich habe eine Aufgabe, wo ich zeigen soll, dass eine Abbildung ein Isomorphismus ist. Dies bin ich mit dem Satz von Cayley angegangen.
Nun verwirren mich Aussagen von Leuten, und nicht ganz nachvollziehbare Vorlesungsmitschriften. Deswegen zeig ich einfach mal die Aufgabe und meine bisherigen Ausführungen.

Zitat:

Sei (G, *) eine Gruppe.
Zeigen Sie: Die Abbildung $\begin{eqnarray*} f_{a}: G \rightarrow G \text{ mit } f_{a}(x) = a^{-1} * x * a \text{ ist für jedes a } \in G \text{ ein Isomorphismus.} \end{eqnarray*}$

Nun orientiere ich mich am Satz von Cayley.
Also gibt es eine Gruppe $\begin{eqnarray*} (S,\circ) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} S = \{f_a(x) | x \in G\} \end{eqnarray*}$ und eine Abbildung g mit: $\begin{eqnarray*} g: G \rightarrow S: x \mapsto f_a(x) \end{eqnarray*}$ .
Dann ist g eine bijektive Abbildung mit $\begin{eqnarray*} x_1, x_2 \in S \end{eqnarray*}$ .
$\begin{eqnarray*} g(x_1 * x_2) = g(x_1) \circ g(x_2) \\ f_a(x_1 * x_2) = f_a(x_1) \circ f_a(x_2) \end{eqnarray*}$

linke Seite:
$\begin{eqnarray*} a^{-1} * (x_1 * x_2) * a = \underbrace{a^{-1} * a}_{id} * (x_1 * x_2) = x_1 * x_2 \end{eqnarray*}$
rechte Seite
$\begin{eqnarray*} a^{-1} * x_1 * (a^{-1} * x_2 * a) *a = \underbrace{a^{-1} * a}_{id} * (x_1 * x_2) * \underbrace{a * a^{-1}}_{id} = x_1 * x_2 \end{eqnarray*}$

Somit ist die Abbildung $\begin{eqnarray*} f_a \end{eqnarray*}$ ein Isomorphismus.

Danke für eure Kommentare.
Grüße

08.07.2010, 14:32

kiste

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Das ist doch nur etwas was du zum Beweis von Satz von Cayley benutzt. Warum du dich da jetzt in irgendeiner Art und Weise daran orientierst versteh ich nicht.

Auch ist a doch nicht zentral, also kannst du es nicht einfach vertauschen.

Zeige einfach für die Abbildung zuerst surjektiv, dann injektiv(oder eben andersrum Augenzwinkern

)

08.07.2010, 14:53

howdy

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Aus dem Grund, da wir in der Vorlesung den Satz von Cayley dazu verwendet haben, um eine isomorphe symmetrische Gruppe zu finden, welche eine bijektive Abbildung mit den besonderen Eigenschaften f(g1 * g2) = f(g1) ° f(g2) besitzt.
Wenn sie diese Eigenschaft besitzt ist sie ein Isomorphismus.
Aufgrund dessen, da die letzten Themen Permutationsgruppen waren und danach Isomorphismen und Homomorphismen gezeigt wurden.

Anders gefragt, wie wende ich auf diese Abbildung den Satz von Cayley sinnvoll an?

08.07.2010, 15:02

kiste

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Gar nicht!

Das was du hier zeigen musst benötigst du doch überhaupt zuerst einmal damit der Beweis des Satzes von Cayley vollständig ist.

Alles was du zeigen musst ist dass f_a eben ein Homomorphismus ist und als Abbildung bijektiv. Ganz elementares nachrechnen

08.07.2010, 15:14

howdy

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OK. Dann habe ich das vollkommen falsch aufgeschnappt.

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