Volumenintegal eines Zylinders nach Gauss

08.07.2010, 14:00	Analytiker 1	Auf diesen Beitrag antworten »
Volumenintegal eines Zylinders nach Gauss Hallo, folgende Aufgabe habe ich berechnet und möchte wissen obs stimmt. [attach]15449[/attach] Zylinderkoordinaten: $\begin{eqnarray} x=r\cdot cos\phi \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y=r\cdot sin\phi \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} z=z \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 0\leq r\leq 1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 0\leq z\leq 1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 0\leq \phi\leq 2\pi \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} div\vec{F} =x=r \cdot cos\phi \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} dV=r\cdot dr\cdot d\phi\cdot dz \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \int \, \int \! \int \! div \vec{F} \,dV \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \int_0^{2\pi } \, \int_0^1 \! \int_0^1 \! (r\cdot cos\phi)\cdot r \, dr \, d\phi\, dz=0 \end{eqnarray}$
09.07.2010, 11:55	Analytiker 1	Auf diesen Beitrag antworten »
kann mir jemand weiterhelfen?
09.07.2010, 16:40	Mulder	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Volumenintegal eines Zylinders nach Gauss Du arbeitest hier mit einem kompletten Kreis in der xy-Ebene als Grundfläche deines Bereiches. Das liegt hier aber nicht vor, weil x größer gleich null sein muss. Das hast du ignoriert.
09.07.2010, 18:54	Analytiker 1	Auf diesen Beitrag antworten »
ja stimmt, also dann so $\begin{eqnarray} \int_0^{1} \, \int_0^\pi \! \int_0^1 \! (r\cdot cos\phi)\cdot r \, dr \, d\phi\, dz=\frac{\pi }{2} \end{eqnarray}$ und über den Satz von Stokes: $\begin{eqnarray} \int_c \! \vec{F} \, d\vec{r} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vec{F} =\begin{pmatrix} y \\ z \\ xz \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vec{r} =\begin{pmatrix} r\cdot cos\phi \\ r\cdot sin\phi \\ z \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} d\vec{r} =\begin{pmatrix} -r\cdot sin\phi \\ r\cdot cos\phi \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vec{F} \cdot d\vec{r} = -yr\cdot sin\phi + zr\cdot cos\phi + xz \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \int_0^{\pi} \, (-sin^2\phi+cos^2\phi) d\phi \end{eqnarray}$ stimmt das so?
09.07.2010, 19:14	Analytiker 1	Auf diesen Beitrag antworten »
nein so $\begin{eqnarray} \int_0^{\pi} \, (-sin^2\phi+cos\phi) d\phi=-pi/2 \end{eqnarray}$ aber warum ist das Ergebnis negativ?
10.07.2010, 09:50	Analytiker 1	Auf diesen Beitrag antworten »
ist die Berechnung über Stokes so richtig?
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