optimierung des flächeninhalts eines dreiecks

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08.07.2010, 16:03	Tick3	Auf diesen Beitrag antworten »
optimierung des flächeninhalts eines dreiecks Meine Frage: Hallo zusammen! Ich hab eine Frage zu folgendem Problem: Ein gleichschenkliges Dreieck hat den Umfang U=30cm. Jetzt soll man den größtmöglichen Flächeninhalt berechnen. Bloß krieg ich einfach nict raus wie?! Meine Ideen: leider hab ich überhaupt keine Idee wie man draufkommen soll...
08.07.2010, 16:06	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie berechnet man den Umfang und den Flächeninhalt bei einem gleichschenkligen Dreieck?
08.07.2010, 16:09	Tick3	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich glaube U=a+b+c und A=(c*h)/2
08.07.2010, 16:10	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Das wäre für das allgemeine Dreieck, ja. Beim gleichschenkligen kannst du das noch etwas umschreiben.
08.07.2010, 16:11	Tick3	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie denn?
08.07.2010, 16:14	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Überleg mal, was ist die Besonderheit beim gleichschenkligen Dreieck, welche Auswirkungen hat das auf den Umfang?
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08.07.2010, 16:15	Tick3	Auf diesen Beitrag antworten »
Äh... 2Seiten sind gleich lang also U=2a+c?
08.07.2010, 16:19	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, damit haben wir im Umfang schon nur noch 2 Variablen stehen. Zeichne dir am besten mal ein gleichschenkliges Dreieck auf und zeichne die Höhe zu c ein. Denk dann mal an den Satz des Pythagoras zurück, dann kannst du eine Formel für die Höhe bestimmen
08.07.2010, 16:22	Tick3	Auf diesen Beitrag antworten »
a^2+b^2=c^2. die Höhe ist also c^2?
08.07.2010, 16:30	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Hmm, das ist der Satz des Pythagoras, aber du sollst den doch erst noch anwenden... Zeichne dir mal ein gleichschenkliges Dreieck auf, und zeichne die Höhe zu c ein, dann teilt die Höhe das in zwei rechtwinklige Dreiecke auf. Die Höhe ist dabei eine der Katheten. Und mit dem Satz des Pytaghoras kannst du dann eine Formel entwickeln, um die Höhe aus den Seiten des gleichschenkligen Dreiecks zu berechnen.
08.07.2010, 16:36	Tick3	Auf diesen Beitrag antworten »
Ahh... Also x^2+0,5c^2=h^2
08.07.2010, 16:42	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Geht in die richtige Richtung In dem entstehenden Dreieck ist $\begin{eqnarray} \frac c2 \end{eqnarray}$ die erste, die Höhe $\begin{eqnarray} h_c \end{eqnarray}$ die zweite Kathete, also ist die Seite $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ die Hypotenuse: $\begin{eqnarray} \left(\frac c2\right)^2+h^2=a^2 \end{eqnarray}$ oder ausmultipliziert $\begin{eqnarray} \frac {c^2}4+h^2=a^2 \end{eqnarray}$ . Das müssen wir jetzt nach h auflösen.
08.07.2010, 16:46	Tick3	Auf diesen Beitrag antworten »
h^2=a^2-(c^2)/4
08.07.2010, 16:49	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Jetzt ziehen wir daraus noch die Wurzel und erhalten eine Formel für h Also haben wir jetzt die Umfangsformel $\begin{eqnarray} U=2a+c \end{eqnarray}$ , die Flächeninhaltsformel $\begin{eqnarray} A=\frac {c\cdot h_c}2 \end{eqnarray}$ , die Formel für die Höhe $\begin{eqnarray} h_c=\sqrt{a^2-\frac {c^2}4} \end{eqnarray}$ und einen Wert für den Umfang. Damit sollte sich jetzt einiges anstellen lassen.
08.07.2010, 16:52	Tick3	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie denn? Muss man die Formeln irgendwie einsetzen?
08.07.2010, 16:56	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Na, das ganze ist jetzt zu einer Extremwertaufgabe mit Nebenbedingung geworden. Du stellst jetzt deine Extremalbedingung auf und benutzt die Nebenbedingung die dir gegeben ist, um eine Funktion zu entwickeln. Und ja, einsetzen kannst du jetzt einiges
08.07.2010, 17:01	Tick3	Auf diesen Beitrag antworten »
So schwierig ist das? Geht das nicht irgendwie einfacher? Extremwertaufgaben sagen mir gar nichts. habs zwar irgendwo schon gesehen, aber das hab ich überhaupt nicht kapiert.
08.07.2010, 17:03	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist nicht wirklich schwierig, letztendlich ist das eine Kurvendiskussion. Und da du das ja schonmal gesehen hast, nehme ich an das ist euer derzeitiges Unterrichtsthema, oder?
08.07.2010, 17:10	Tick3	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich kapier das nicht, weil wir das noch nicht gemacht haben in dieser Form. Aber ich werds jetzt einfach lassen, weil ich eigentlich auch gar keine Zeit mehr Hab. Vielen Dank für deine Hilfe. Ich werd mir die Fromeln aufschreiben und es mal später versuchen.

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