Kritische Werte

08.07.2010, 16:24	TommyAngelo	Auf diesen Beitrag antworten »
Kritische Werte Hi Leute, ich habe eine Funktion von R^3 -> R und die lautet: f(x,y,z) = 2 cos(z) + sin(x)sin(y) und ich soll die kritischen Werte berechnen. Wie geht man da vor oder was bedeutet es überhaupt?
08.07.2010, 16:30	Cel	Auf diesen Beitrag antworten »
Guck mal hier. Für dich heisst das: Gradienten berechnen, gleich Null setzen, auflösen.
08.07.2010, 16:37	TommyAngelo	Auf diesen Beitrag antworten »
D.h. ich habe: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} sin(y)cos(x) \\ sin(x)cos(y) \\ -2sin(z) \end{pmatrix}=0 \end{eqnarray}$ ?
08.07.2010, 16:51	Cel	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau. So, wann ist der Vektor denn gleich dem Nullvektor?
08.07.2010, 17:13	TommyAngelo	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, da gibts mehrere Möglichkeiten. Fangen wir mal an: $\begin{eqnarray} k \in \mathbb Z \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} sin(y)=0 \Rightarrow y=k\pi \end{eqnarray}$ D.h. der cos(y) ist dann immer 1 oder -1, also liegt es am sin(x), dass auch die zweite Zeile 0 wird: $\begin{eqnarray} \Rightarrow sin(x)=0 \Rightarrow x=k\pi \end{eqnarray}$ Und die letzte Zeile ist sowieso extra, also $\begin{eqnarray} z=k\pi \end{eqnarray}$ Weitere Möglichkeit: $\begin{eqnarray} \Rightarrow cos(x)=0 \Rightarrow x= \left(k+\frac{1}{2}\right)\pi \end{eqnarray}$ Ähnlich wie oben ist nun der sin(x) immer 1 oder -1, also liegt es am cos(y), dass die zweite Zeile 0 wird: $\begin{eqnarray} \Rightarrow cos(y)=0 \Rightarrow y= \left(k+\frac{1}{2}\right)\pi \end{eqnarray}$ Und die letzte ist wieder gleich. Wir haben also die Fälle: $\begin{eqnarray} \left\{ k\pi \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} , \pi \begin{pmatrix} k+\frac{1}{2} \\ k+\frac{1}{2} \\ k \end{pmatrix} \right\} \end{eqnarray}$ zwei parallele Geraden (fast, weil k aus Z und nicht aus R ist) also sind es immer nur Punkte, die jeweils auf einer Gerade liegen. Ah, halt, es gibt ja auch noch unterschiedliche k. Die können ja unabhängig voneinander sein. Dann müsste man es so sehen: $\begin{eqnarray} \left\{ \pi \begin{pmatrix} k_1 \\ k_2 \\ k_3 \end{pmatrix} , \pi \begin{pmatrix} k_4+\frac{1}{2} \\ k_5+\frac{1}{2} \\ k_6 \end{pmatrix} \right\} \end{eqnarray}$
08.07.2010, 17:22	Cel	Auf diesen Beitrag antworten »
Jo. Solange du nicht noch überprüfen musst, was das für kritische Punkte sind, bist du fertig!
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08.07.2010, 17:24	TommyAngelo	Auf diesen Beitrag antworten »
Aber gefragt sind doch die Werte, d.h. ich muss es noch einsetzen, oder? Dann fällt für den ersten Lösungsvektor der hintere Teil weg und der $\begin{eqnarray} cos(z)= \pm 1 \end{eqnarray}$ , also haben wir $\begin{eqnarray} \pm 2 \end{eqnarray}$ . Für den zweiten Vektor ist der hintere Teil $\begin{eqnarray} (\pm 1) (\pm 1) \end{eqnarray}$ , also haben wir: 2+1=3 2-1=1 -2+1=-1 -2-1=-3 Zusammengefasst: $\begin{eqnarray} \left\{ \pm 1, \pm 2, \pm 3 \right\} \end{eqnarray}$ Kann man das so machen?
08.07.2010, 17:30	Cel	Auf diesen Beitrag antworten »
Also, ich kenne nur den Begriff kritischer Punkt, aber dafür brauchst du auch den Funktionwert, ja ...

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