Vektoren und Unterräume

08.07.2010, 18:19	AxelG	Auf diesen Beitrag antworten »
Vektoren und Unterräume Meine Frage: Moin moin, und zwar rätsel ich jetz schon 3 Stunden an dieser Aufgabe rum und bekomm Sie einfach nicht raus... vielleicht kann mir jemand helfen... Zwei Vektoren v (1,3,-1,0) und w (-2,1,3,1) R4 Bestimmen Sie die Menge U aller Vektoren des R4, die orthogonal zu v und w sind. Geben Sie eine geometrische Beschreibung von U und stellen Sie U in Parameterform dar. Geben Sie außßerdem zwei linear Unabhängige Vektoren u und v aus U an, für die gilt: u ist ein Einheitsvektor und v besitzt die Länge 2? Meine Ideen: Zuerst dachte ich ja man macht einfach Kreuzprodukt dann hat man die senkrecht draufstehenden Vektoren. Aber das geht ja nur im R3. Also hab ich agefangen Gauß zu machen, quasi 2 Gleichungen 4 Unbekannte 1 3 -1 0 -2 1 3 1 zweite plus 2 mal erste 1 3 -1 0 0 7 6 1 zweite mal 1/7 1 3 -1 0 0 1 6/7 1/7 --> zwei frei variablen x3=t und x4=s --> x2=-6/7 t + 1/7 s und x1=25/7 t + 3/7 s also ist doch U=(x1, x2, x3, x4) also quasi U=(25/7 t + 3/7 s, -6/7 t + 1/7 s, t,s) Geometrische Interpretation: Somit ist doch U einfach nur ein Vektor, also eine Gerade oder nicht? So wenn man dann weitergeht zum zweiten Aufgabenteil: da muss ja \|u\|=1 und \|v\|=2 sein. So wenn ich da jetzt U, also dei allgemeine Lösung, hernehme und mit der Formel für die Länge eines Vektors rangeh und dann versuch t und s so zu bestimmen u=1 und v=2 raus kommt, dann wir das ziemlich hässlich und es kommen Brüche raus mit 196/59 solche Spässe. Folglich kann ja was nicht stimmen. Und wie man dann noch klarstellt dass die zum einen obiges erfüllen und gleichzeitig linear unabhängig sein sollen weiß ich nicht. Ich hoffe es weiß jemand Rat... Danke Axel
08.07.2010, 19:48	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Idee mit Gauß stimmt. Allerdings mußt du dich verrechnet haben, denn die Probe mit deinem allgemeinen Vektor ergab, daß er weder auf $\begin{eqnarray} v \end{eqnarray}$ noch auf $\begin{eqnarray} w \end{eqnarray}$ senkrecht steht. Und warum rechnest du auch so kompliziert? Das Gleichungssystem hat ja bereits Stufenform. Du brauchst da nichts mehr umzuformen und kannst gleich $\begin{eqnarray} x_1 = s \, , \ \ x_2= t \end{eqnarray}$ vorgeben und nach $\begin{eqnarray} x_3 \end{eqnarray}$ und dann $\begin{eqnarray} x_4 \end{eqnarray}$ auflösen. Im übrigen ist $\begin{eqnarray} U \end{eqnarray}$ ein Unterraum, also eine Menge und kein Vektor: $\begin{eqnarray} U = \left\{ \ldots \, \left\| \, s,t \in \mathbb{R} \right. \right\} \end{eqnarray}$ Schreibe den allgemeinen Vektor von $\begin{eqnarray} U \end{eqnarray}$ als Linearkombination zweier Vektoren. Du mußt dazu nur nach den Parametern $\begin{eqnarray} s \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} t \end{eqnarray}$ trennen.
08.07.2010, 20:12	AxelG	Auf diesen Beitrag antworten »
erstmal danke für die Antwort =) also meinst du so etwa: ich fang hier an mit meiner Stufenform 1 3 -1 0 -2 1 3 1 und definier dann glecih x1=s und x2=t --> x3 = s + 3t und x4 = s - 4t dann bekomm ich für U quasi U={s (1,0,1,1) + t (0,1,3,-4) \| s,t € R} dann wär das ja ganz einfach eigentlich... cool danke schonmal dafür Aber den zweiten Aufgabenteil steig ich nich durch, das mit dem \|v\| = 1 und \|u\|=2 und gleichzeitig noch linear unabhängig kannst du mir hier vielleciht auch auf die sprünge helfen? gruß Axel

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »