Konvergenz von Reihe

08.07.2010, 23:47

bergy

Konvergenz von Reihe

Hi wäre über einen Tip äußerst dankbar.
Aufgabe: $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty ( (-1)^k * (pi / 2) ^{2k} )/(2k+1)! \end{eqnarray*}$

Überlegung: aus Zähler dies machen: ((-pi/2 )²)^k Nenner so lassen und dann Leibnitzkriterium anwenden, wegen der alternierenden Reihe. Stimmt das soweit ? da ich nicht auf das richtige ergebnis von 2 / pi komme.

vielen Dank schonmal

08.07.2010, 23:52

IfindU

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RE: Konvergenz von Reihe
Leibnitz sagt dir nur, ob die Reihe konvergiert, nicht gegen welchen Wert. Dafür solltest du dir mal die Reihendarstellung des Sinus genauer ansehen.

09.07.2010, 07:22

bergy

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RE: Konvergenz von Reihe
ah ok, danke. Die Reihendarstellung des sin hat aber noch ein +1 was ich leider nicht habe. Jetzt hab ich mir überlegt das über Indexverschiebung dahinzubekommen aber dann passt der Startwert des k nicht mehr mit der Darstellung überein. ????

dankeschön

09.07.2010, 07:27

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Man könnte es ja korrigieren, nicht wahr? Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} x^{2k} = \frac{1}{x} \cdot x^{2k+1} \end{eqnarray*}$

09.07.2010, 07:33

bergy

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RE: Konvergenz von Reihe
hab mir gerade berlegt, dass (Pi/2 )^2k +1 das gleiche ist wie Pi/2 ^2k * pi/2. Der sin von pi/2 ist 1 und da ich das zweite pi/2 nicht hab teile ich dadruch. Dann kommt jedenfalls das richtige raus, aber darf ich das so machen?

09.07.2010, 09:10

system-agent

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Ja, das darfst du.

09.07.2010, 15:51

bergy

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Sehr gut.
Jetzt habe ich ein weiteres Problem: $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{x^{2k}}{(2k+1)k!} \end{eqnarray*}$

hier soll der Konvergenzradius bestimm werden und die Sache auf eine geschlossene Form gebracht werden.

jezt habe ich hier wieder eine Lösung liegen, die mir nicht weiterhilft. Nach welcher Gesetzmäßigkeit darf ich scheinbar bei solchen Aufgabentypen den Nenner mit dem Zähler multiplizieren ohne das es die Reihe verändert. Und warum bleibt in diesem fall das k! im Zähler stehen?

Edit: Habe gesehen, dass unter bestimmten Voraussetzungen eine Reihe das gleiche Konvergenzverhalten hat wie das uneigentliche Integral. Hilft dies mir ?

09.07.2010, 18:14

system-agent

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Was den Konvergenzradius angeht, da kannst du den Quotient nehmen.

Steht wirklich diese Reihe da? Mathematica liefert etwas ziemlich unschönes als Summe... .

09.07.2010, 18:27

bergy

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Ja die Reihe steht in der Aufgabenstellung und es kommt auch etwas vernünftiges heraus. Was ich mich frage, ist warum man diese Reihe als $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{2k +1}{k!} * x ^{2k} \end{eqnarray*}$ umschreiben kann. Welcher Regel liegt dies zu grunde ?

09.07.2010, 18:38

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Geht es nun um

Zitat:

Original von bergy
Jetzt habe ich ein weiteres Problem: $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{x^{2k}}{(2k+1)k!} \end{eqnarray*}$

oder doch eher um

Zitat:

Original von bergy
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{2k +1}{k!} * x ^{2k} \end{eqnarray*}$

Beides ist jedenfalls NICHT dasselbe, auch nicht ineinander überführbar. unglücklich

09.07.2010, 19:03

bergy

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ok, eventuell handelt es sich um die zweite Form, das würde dann alles Sinn machen. ABER wenn ich da jetzt dieses x^2k habe wie bekomm ich das auf x^k ? Man kann es ja als (x^k)^2 schreiben. D.h. $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty \sqrt{ \frac{2k +1}{k!} * (x ^{k})^2} \end{eqnarray*}$ ?? Wenn ja, wie bekomm ich die Wurzel von der Fakultät ?

Vielen Dank schonmal

09.07.2010, 19:07

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Zitat:

Original von bergy
Man kann es ja als (x^k)^2 schreiben

... oder auch als $\begin{eqnarray*} (x^2)^k \end{eqnarray*}$ . Augenzwinkern

Zitat:

Original von bergy
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty \sqrt{ \frac{2k +1}{k!} * (x ^{k})^2} \end{eqnarray*}$ ??

Welchen Zusammenhang gibt es zwischen einer Reihe, und der Reihe der Wurzeln der Glieder der Ausgangsreihe? Im allgemeinen gar keinen sinnvollen! unglücklich

09.07.2010, 22:54

bergy

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die schreibweise (x²)^k bringt mich doch aber nicht weiter oder? ich will ja schließlich x^k als potenz erhalten haben. Wie bekomm ich dieses doofe quadrat dort heraus? Die Lösung lautet wohl: $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{k+1}{(\frac{k}{2} )!} x^k \end{eqnarray*}$ was hat man hier gemacht? Kann auch sein das mir Basics hierfür fehlen. Wäre über eine Auflösung des Rätsels (für mich smile

sehr dankbar..

bergy

10.07.2010, 12:09

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Zitat:

Original von bergy
die schreibweise (x²)^k bringt mich doch aber nicht weiter

Da ich diesen Spruch bekanntermaßen nicht ausstehen kann, bleibt mir darauf nur folgende Antwort:

Vielleicht hilft es dir nicht weiter, weil du nicht drüber nachdenkst? Wenn du es doch mal tust und dabei auch an die Exponentialreihe

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{t^k}{k!} = e^t \end{eqnarray*}$

denkst, dann erkennst du hoffentlich den Zusammenhang.

10.07.2010, 14:51

bergy

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Hey danke Arthur Dent,

aber selbst wenn ich drüber nachdenke, komm ich einfach nicht dadrauf, wie ich den Konvergenzradius herausbekomme. Habe nun probiert $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{2k+1}{k!} * (x²)^k \end{eqnarray*}$

dann die kte Wurzel aus dem ganzen?

Und ja die Reihe welche e^x darstellt ist ja auch schön und gut, aber wie hilft mir dass um das x^k isoliert zu bekommen? ich habe ja dann plötzlich ein e mit drinn was ich garnicht möchte um den Entwicklungspunkt und Konvergenzradius zu errechnen.

ps.

Zitat:

die schreibweise (x²)^k bringt mich doch aber nicht weiter oder?

das ODER sollte implizieren, dass ich an dieser Stelle hänge und wollte damit nur meine Verwirrung äußern.

10.07.2010, 18:05

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Ich rede nicht über die Bestimmung des Konvergenzradius - dass der $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ ist, folgt sowieso aus dem Quotientenkriterium. Ich rede über die exakte Bestimmung des Reihenwertes.

------------------------------

Es gibt kein Dogma, welches besagt, dass man eine Reihe wie

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{t^k}{k!} = e^t \end{eqnarray*}$

immer nur für $\begin{eqnarray*} t=x \end{eqnarray*}$ anwenden darf. Es spricht nichts dagegen, auch mal $\begin{eqnarray*} t=x^2 \end{eqnarray*}$ einzusetzen...

Und wenn du jetzt noch einwendest "das ist ja auch noch nicht meine Reihe", dann denk mal über

$\begin{eqnarray*} \frac{2k+1}{k!} x^{2k} = \frac{2k}{k!} x^{2k} ~ + ~ \frac{1}{k!} x^{2k} = \frac{2}{(k-1)!} x^{2k} ~ + ~ \frac{1}{k!} x^{2k} \end{eqnarray*}$

nach.

12.07.2010, 21:43

bergy

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Danke nochmal. Bei mir hats woanders gehakt und zwar ging es mir nur um den Konvergenzradius. Jetzt hab ich verstanden, dass ich das x^2k einfach als eine neue Variable z.B. z ansehen muss um dann nach dem Quotientenkriterium aus dem Ergebnis nochmal die Wurzel zu ziehen. In diesem Beispiel spielt es dann keine Rolle, da die Wurzel aus unendlich immernoch unendlich ist.

Es vertragen sich also Reihen und Wurzeln nicht. Das war mir so nicht bewusst.

danke

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