Normale an parametrisierte Kurve

09.07.2010, 00:30	Martin01081988	Auf diesen Beitrag antworten »
Normale an parametrisierte Kurve Meine Frage: Hi! ich habe ein Problem mit folgender Parametrisierten Kurve: (2-sin(t)^2)(cos(t),sin(t)) Dazu will ich die Normale im Punkt Pi/4 berechnen, aber komme nicht auf ein vernünftiges Ergebnis beim Richtungsvektor. Kann mir jemand sagen mit welcher Formel der Richtungsvektor berechnet wird? Finde leider nichts dazu. Meine Ideen:* Die Normale steht senkrecht auf der Tangente. Für die Tangente berechne ich die erste Ableitung. Weiter?
09.07.2010, 09:08	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast eine ebene Kurve gegeben $\begin{eqnarray} \vec x=\begin{pmatrix} x_1(t) \\ x_2(t) \\ 0\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Obwohl es sich um eine 2-dimensionale Kurve handelt, habe ich eine 3.Komponente eingeführt und diese Null gesetzt. Bilde den Tangentialvektor durch Ableiten nach t, also $\begin{eqnarray} \dot {\vec x}=\begin{pmatrix} \dot x_1(t) \\ \dot x_2(t) \\ 0\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Gesucht ist der Normalvektor $\begin{eqnarray} \vec N \end{eqnarray}$ . Dieser steht sowohl senkrecht auf dem Tangentialvektor $\begin{eqnarray} \dot{\vec x} \end{eqnarray}$ als auch senkrecht auf dem Vektor $\begin{eqnarray} \vec e_3=(0\|0\|1) \end{eqnarray}$ . Also ist der Normalvektor $\begin{eqnarray} \vec N \end{eqnarray}$ das auf 1 normierte Kreuzprodukt dieser beiden Vektoren $\begin{eqnarray} \vec N=\frac{\dot{\vec x} \times \vec e_3}{\|\dot{\vec x} \times \vec e_3\|} \end{eqnarray}$ Berechne diesen Vektor bei t=pi/4. Es ist eine Frage der Definition, wie man die Reihenfoge der Faktoren im Kreuzprodukt wählt. Dies beeinflusst das Vorzeichen des Normalvektors.

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