Zwischenkörper einer Erweiterung bestimmen

09.07.2010, 14:45

Duude

Zwischenkörper einer Erweiterung bestimmen

Hallo,
ich soll die Zwischenkörper der Erweiterung $\begin{eqnarray*} E= \mathbb{Q}[\sqrt[4]{2},i]|\mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ bestimmen.

Ich bin mir nicht sicher, ob ich die richtig bestimmt habe und wollte deshalb mal hier nachfragen.

Erstmal die Definition eines Zwischenkörpers:
Ein Körper heißt Zwischenkörper der Körpererweiterung E, wenn $\begin{eqnarray*} K \subseteq M \subseteq L \end{eqnarray*}$ wobei hier $\begin{eqnarray*} K = \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ und L = E.

Da hier ja keine echte Teilmenge gefordert wird, habe ich mir als erste Zwischenkörper $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ und E selbst überlegt.
Jetzt brauche ich noch weitere Körper, die zwischendrin liegen.
Da in der Körpererweiterung 2 Elemente adjungiert werden, habe ich mir als weitere Zwischenkörper diese hier überlegt:

$\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}[\sqrt[4]{2}], \mathbb{Q}[i], \mathbb{Q}[\sqrt[4]{2} \cdot i], \mathbb{Q}[\sqrt[4]{2}^2], \mathbb{Q}[\sqrt[4]{2} ^2 \cdot i], \mathbb{Q}[\sqrt[4]{2} ^3], \mathbb{Q}[\sqrt[4]{2} ^3\cdot i ] \end{eqnarray*}$

Insgesamt komme ich so auf 9 Zwischenkörper, die gerade genannten, sowie $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ und E

Was meint ihr dazu?

Gruß,
Duude

09.07.2010, 17:15

Reksilat

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RE: Zwischenkörper einer Erweiterung bestimmen
Hallo Duude,

In $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}[\sqrt[4]{2}] \end{eqnarray*}$ ist doch auch schon $\begin{eqnarray*} \sqrt[4]{2}^3 \end{eqnarray*}$ enthalten und andersrum ist in $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}[\sqrt[4]{2}^3] \end{eqnarray*}$ auch schon $\begin{eqnarray*} \sqrt[4]{2}=\frac{1}{4}\cdot\left(\sqrt[4]{2}^3\right)^3 \end{eqnarray*}$ enthalten. Diese Körpererweiterungen sind also gleich.
Es tauchen auch noch mehr doppelte auf.

Entsorge also erst mal die doppelten und schaue dann, ob auch irgendwo zwei verschiedene Elemente einen echten Zwischenkörper erzeugen.
Tipp: hierbei solltest Du Dir für jedes Element $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ Deiner Basis für $\begin{eqnarray*} E|\mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ überlegen, welchen Erweiterungsgrad es über $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ hat.

Gruß,
Reksilat.

09.07.2010, 19:00

gonnabphd

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Übrigens, im anderen Thread hast du diese Aufgabe ja auch erwähnt.

Und daher weisst du ja schon, dass E der Zerfällungskörper von $\begin{eqnarray*} X^4 - 2 \end{eqnarray*}$ ist. Somit ist E eine Galoiserweiterung von $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ und man kann die Zwischenkörper als Fixkörper der $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ -Automorphismen auf E identifizieren.

Das könnte helfen, alle Zwischenkörper zu bestimmen.

10.07.2010, 00:03

Duude

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Danke erst mal für eure Antworten.

Zitat:

In $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}[\sqrt[4]{2}] \end{eqnarray*}$ ist doch auch schon $\begin{eqnarray*} \sqrt[4]{2}^3 \end{eqnarray*}$ enthalten

Ich dachte, ich darf die Elemente, die ich adjungiere nur mit Elementen aus $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ malnehmen, um auf andere zu kommen.

Mal als Beispiel: Eine Basis von $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}[\sqrt[4]{2}] \end{eqnarray*}$ ist doch $\begin{eqnarray*} B=\{1, [\sqrt[4]{2}]\} \end{eqnarray*}$ da 1 $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ aufspannt und $\begin{eqnarray*} [\sqrt[4]{2}] \end{eqnarray*}$ uns alle Elemente der Erweiterung erreichen lässt.

Mit einer Basis kann ich alle Elemente x aus dem Raum konstruieren mittels:

$\begin{eqnarray*} x= a \cdot 1 + b \cdot \sqrt[4]{2} \end{eqnarray*}$ und dabei sind a und b aus $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ .

Um als x dein genanntes $\begin{eqnarray*} \sqrt[4]{2}^3 \end{eqnarray*}$ zu konstruieren, müsste ich hier a=0 und $\begin{eqnarray*} b=\sqrt[4]{2}^2= \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ Und dieses b befindet sich nicht in den rationalen Zahlen. Damit erreiche ich doch mit dieser Erweiterung nicht $\begin{eqnarray*} \sqrt[4]{2}^3 \end{eqnarray*}$ und muss es, wenn ich es erreichen will, mit in die Adjunktion schreiben.

Also so habe ich das bis jetzt verstanden. Wahrscheinlich ist daran dann aber noch irgendetwas falsch, weil ich nicht auf dasselbe Ergebnis wie du komme... Ich sehe nur meinen Fehler noch nicht.

Zitat:

In $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}[\sqrt[4]{2}] \end{eqnarray*}$ ist doch auch schon $\begin{eqnarray*} \sqrt[4]{2}^3 \end{eqnarray*}$ enthalten und andersrum ist in $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}[\sqrt[4]{2}^3] \end{eqnarray*}$ auch schon $\begin{eqnarray*} \sqrt[4]{2}=\frac{1}{4}\cdot\left(\sqrt[4]{2}^3\right)^3 \end{eqnarray*}$ enthalten. Diese Körpererweiterungen sind also gleich.

Du hast hier gezeigt, dass die beiden Erweiterungen gleich sind, weil der eine im anderen enthalten ist und umgekehrt. Ich verstehe aber diesen Rechenschritt nicht:

Zitat:

n $\begin{eqnarray*} \sqrt[4]{2}=\frac{1}{4}\cdot\left(\sqrt[4]{2}^3\right)^3 \end{eqnarray*}$

Meiner Meinung nach müsste das 1/4 da nicht stehen, denn $\begin{eqnarray*} \sqrt[4]{2}^{\frac{3}{3}}=\sqrt[4]{2} \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Entsorge also erst mal die doppelten und schaue dann, ob auch irgendwo zwei verschiedene Elemente einen echten Zwischenkörper erzeugen.

Ich versuche jetzt trotzdem mal die doppelten zu entsorgen, obwohl ich das oben noch nicht ganz verstanden habe.
Wenn also die zwei Erweiterungen gleich sind, die du oben beschrieben hast, dann fällt auch

$\begin{eqnarray*} [\sqrt[4]{2} ^3\cdot i ] \end{eqnarray*}$ raus, da es mit $\begin{eqnarray*} [\sqrt[4]{2}\cdot i ] \end{eqnarray*}$ übereinstimmt.

$\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}[\sqrt[4]{2} ^2 ] \end{eqnarray*}$ müsste dann auch mit $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}[\sqrt[4]{2} ] \end{eqnarray*}$ übereinstimmen, ebenso wie $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}[\sqrt[4]{2} ^2\cdot i ] \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}[\sqrt[4]{2} \cdot i ] \end{eqnarray*}$

Damit komme ich auf folgende Zwischenkörper:

$\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}[\sqrt[4]{2}], \mathbb{Q}[i], \mathbb{Q}[\sqrt[4]{2} \cdot i] \end{eqnarray*}$

Zitat:

ob auch irgendwo zwei verschiedene Elemente einen echten Zwischenkörper erzeugen.

Hier weiß ich noch nicht so genau, worauf du rauswillst...

Zitat:

Tipp: hierbei solltest Du Dir für jedes Element $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ Deiner Basis für $\begin{eqnarray*} E|\mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ überlegen, welchen Erweiterungsgrad es über $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ hat.

Die Basislemente von E sind $\begin{eqnarray*} B=\{1, \sqrt[4]{3}, i\} \end{eqnarray*}$

Wobei ich mir hier gerade nicht sicher bin, ob die 1 zur Basis gehört oder nicht, ich kann sie ja mit $\begin{eqnarray*} i^4 \end{eqnarray*}$ erzeugen, aber dann wären die Vorfaktoren also i nicht in den rationalen Zahlen. Also glaube ich, dass die 1 auch in der Basis sein muss.
Wie komme ich jetzt auf den Erweiterungsgrad über den rationalen Zahlen?

@gonnabphd
Ja, das stimmt... diese Aufgabe folgt als Teilaufgabe auf die Aufgabe in dem anderen Thread.

Zitat:

daher weisst du ja schon, dass E der Zerfällungskörper von $\begin{eqnarray*} X^4 - 2 \end{eqnarray*}$ ist.

ja, das stimmt.

Zitat:

Somit ist E eine Galoiserweiterung von $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ und man kann die Zwischenkörper als Fixkörper der $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ -Automorphismen auf E identifizieren.

Gilt das allgemein?
Und wie kann mir das hier konkret helfen.
Ich weiß, dass Fixkörper die Körper sind, die unter einer gegebenen Abbildung gleich bleiben. Wenn ich also alle Fixkörper bestimmen kann, habe ich gleichzeitig alle Zwischennkörper bestimmt. Aber ich weiß nicht, wie ich die Fixkörper bestimmen könnte.

Ich hoffe ihr konntet nachvollziehen, was ich bis jetzt gemacht habe.

Duude

10.07.2010, 18:23

Reksilat

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Zitat:

Ich dachte, ich darf die Elemente, die ich adjungiere nur mit Elementen aus $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ malnehmen, um auf andere zu kommen.

Nein, $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}[x] \end{eqnarray*}$ ist definiert als der kleinste Körper, der sowohl $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ als auch $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ enthält. Damit müssen auch alle Potenzen von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ enthalten sein.

Für den Erweiterungsgrad musst Du dann $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}[x] \end{eqnarray*}$ aber wieder als Vektorraum über $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ auslegen.
Beispiel:
In $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}[\sqrt[4]{2}] \end{eqnarray*}$ liegt auch $\begin{eqnarray*} \sqrt[4]{2}\cdot \sqrt[4]{2}=\sqrt{2} \end{eqnarray*}$ . Nun kann man $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ nicht als Linearkombination von $\begin{eqnarray*} \sqrt[4]{2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ darstellen und deshalb ist $\begin{eqnarray*} \{1,\sqrt[4]{2}\} \end{eqnarray*}$ auch keine Basis. Man kann sehen, dass die vier Elemente $\begin{eqnarray*} \{1,\sqrt[4]{2},\sqrt{2},\sqrt[4]{2}^3\} \end{eqnarray*}$ über $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ linear unabhängig sind.
Mit dem Minimalpolynom von $\begin{eqnarray*} \sqrt[4]{2} \end{eqnarray*}$ über $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ siehst Du nun aber, dass der Erweiterungsgrad $\begin{eqnarray*} |\mathbb{Q}[\sqrt[4]{2}]:\mathbb{Q}|=4 \end{eqnarray*}$ sein muss und damit ist auch die Dimension von $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}[\sqrt[4]{2}] \end{eqnarray*}$ als $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ -VR 4. Die obige Menge ist eine Basis von $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}[\sqrt[4]{2}] \end{eqnarray*}$ als $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ -VR.

Zitat:

Ich verstehe aber diesen Rechenschritt nicht:

Zitat:

n $\begin{eqnarray*} \sqrt[4]{2}=\frac{1}{4}\cdot\left(\sqrt[4]{2}^3\right)^3 \end{eqnarray*}$

Meiner Meinung nach müsste das 1/4 da nicht stehen, denn $\begin{eqnarray*} \sqrt[4]{2}^{\frac{3}{3}}=\sqrt[4]{2} \end{eqnarray*}$ .

Es ist $\begin{eqnarray*} \left(\sqrt[4]{2}^3\right)^3=\sqrt[4]{2}^9=\sqrt[4]{2^9}=\sqrt[4]{2^4\cdot 2^4\cdot 2}=\sqrt[4]{2^4}\cdot \sqrt[4]{2^4}\cdot \sqrt[4]{2}=2\cdot 2\cdot \sqrt[4]{2} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Die Basislemente von E sind $\begin{eqnarray*} B=\{1, \sqrt[4]{3}, i\} \end{eqnarray*}$

Nein, im anderen Thread hattest Du die richtige Basis bereits gefunden. $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ hat als $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ -VR die Dimension 8 und jeder Zwischenkörper lässt sich auch als Unterraum interpretieren. Andererseits ist aber nicht jeder Unterraum von $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ ein Zwischenkörper, da zum Beispiel das Erzeugnis $\begin{eqnarray*} \langle 1,i,\sqrt[4]{2}\rangle=\{ a\cdot 1+b\cdot i+c\cdot \sqrt[4]{2}|a,b,c\in \mathbb{Q}\} \end{eqnarray*}$ nicht abgeschlossen unter der Multiplikation ist.

Gruß,
Reksilat.

10.07.2010, 22:19

gonnabphd

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Zitat:

Ja, das gilt allgemein für Galoiserweiterungen. Diese sind (zumindest bei mir) ja genau so definiert, dass L/K eine Galoiserweiterung ist gdw. K der Fixkörper aller K-Automorphismen von L ist.

Hmm, das ginge aber wohl zu weit, dir hier zu erklären, wie man die K-Automorphismen und deren Fixkörper bestimmt.

Die K-Automorphismen sind Fortsetzungen von Permutationen der Wurzeln des Polynoms P, wenn L der Zerfällungskörper von P ist. (Es sind jedoch nicht unbedingt alle Permutationen zu solchen K-Automorphismen fortsetzbar)

Aber wie gesagt, wenn ihr das noch nicht hattet, ginge das zu weit. Ich überlasse das Feld also Reksilat.

Gruss, g'phd. Wink

12.07.2010, 20:22

Duude

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Zitat:

Nein, $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}[x] \end{eqnarray*}$ ist definiert als der kleinste Körper, der sowohl $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ als auch $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ enthält. Damit müssen auch alle Potenzen von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ enthalten sein.

Für den Erweiterungsgrad musst Du dann $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}[x] \end{eqnarray*}$ aber wieder als Vektorraum über $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ auslegen.
Beispiel:
In $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}[\sqrt[4]{2}] \end{eqnarray*}$ liegt auch $\begin{eqnarray*} \sqrt[4]{2}\cdot \sqrt[4]{2}=\sqrt{2} \end{eqnarray*}$ . Nun kann man $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ nicht als Linearkombination von $\begin{eqnarray*} \sqrt[4]{2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ darstellen und deshalb ist $\begin{eqnarray*} \{1,\sqrt[4]{2}\} \end{eqnarray*}$ auch keine Basis. Man kann sehen, dass die vier Elemente $\begin{eqnarray*} \{1,\sqrt[4]{2},\sqrt{2},\sqrt[4]{2}^3\} \end{eqnarray*}$ über $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ linear unabhängig sind.
Mit dem Minimalpolynom von $\begin{eqnarray*} \sqrt[4]{2} \end{eqnarray*}$ über $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ siehst Du nun aber, dass der Erweiterungsgrad $\begin{eqnarray*} |\mathbb{Q}[\sqrt[4]{2}]:\mathbb{Q}|=4 \end{eqnarray*}$ sein muss und damit ist auch die Dimension von $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}[\sqrt[4]{2}] \end{eqnarray*}$ als $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ -VR 4. Die obige Menge ist eine Basis von $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}[\sqrt[4]{2}] \end{eqnarray*}$ als $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ -VR.

Vielen Dank für die super Erklärung, das hab ich verstanden.
Ich habe jetzt auch die Struktur hinter der Basis erkannt.
Die ist ja eigentlich $\begin{eqnarray*} B = \{1, \sqrt[4]{2}, \sqrt[4]{2}^2= \sqrt{2}, \sqrt[4]{2}^3, \} \end{eqnarray*}$

Und $\begin{eqnarray*} \sqrt[4]{2}^4 \end{eqnarray*}$ ist nicht mehr in der Basis, da dies = 2 ist und damit von 1 erzeugt werden kann.

Nur um zu sehen, ob ichs wirklich verstanden habe:

Demensprechend müsste $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} [\sqrt[7]{2}] \end{eqnarray*}$ 7 Basislemente haben. Nämlich
$\begin{eqnarray*} B = \{1, \sqrt[7]{2}, \sqrt[7]{2}^2, \sqrt[7]{2}^3, \sqrt[7]{2}^4, \sqrt[7]{2}^5, \sqrt[7]{2}^6,\} \end{eqnarray*}$ wobei man vielleicht einige der Basiselelemente noch kürzer schreiben könnte, aber ich habe sie jetzt mal ausgeschrieben stehen lassen.
Damit wäre in diesem Fall $\begin{eqnarray*} |\mathbb{Q[\sqrt[7]{2}]}: \mathbb{Q}|= \frac{7}{1}= 7 \end{eqnarray*}$

Zitat:

Das konnte ich auch nachvollziehen. Hatte da bei meiner falschen Rechnung die Potenzgesetze irgendwie nicht berücksichtigt...

Zitat:

Nein, im anderen Thread hattest Du die richtige Basis bereits gefunden.

Ich habe jetzt die Basis selbst aufgestellt und im anderen Thread nochmals nachgesehen:

Die Basis von $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}[\sqrt[4]{2},i] \end{eqnarray*}$ lautet $\begin{eqnarray*} B_2= \{1 ; i; \sqrt[4]{2}; i \cdot \sqrt[4]{2}, \sqrt[4]{2}^2, \sqrt[4]{2}^3, \sqrt[4]{2}^2 \cdot i , \sqrt[4]{2}^3\cdot i,\} \end{eqnarray*}$ und hat damit 8 Elemente.

Jetzt muss ich also um die Aufgabe zu lösen, die Zwischenkörper der Erweiterung $\begin{eqnarray*} E = \mathbb{Q}[\sqrt[4]{2}, i] \end{eqnarray*}$ bestimmen.

Darüber weiß ich bis jetzt, dass ich darauf achten muss, dass diese Zwischenkörper abgeschlossen sind. Also würde ich zuerst wie oben schon angsprochen $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} E = \mathbb{Q}[\sqrt[4]{2}, i] \end{eqnarray*}$ als Zwischenkörper angeben. Sie sind Körper und abgeschlossen unter allen Rechenoperationen.

Ich würde jetzt weiter so vorgehen, dass ich zu $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ ein Basiselement hinzufüge und schaue was passiert, also welche Elemente alles erreicht werden. Füge ich i hinzu, erhalte ich alle komplexen Zahlen noch mit dazu, komme aber nicht in die Wurzeln. Also müsste das abgeschlossen sein. Damit wäre ein weiterer Zwischenkörper $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}[i] \end{eqnarray*}$ .
Ich glaube, dass das alle sind.
Irgendwie bin ich damit aber noch nicht so zufrieden. Das war jetzt eher überlegt statt nachgerechnet.

Du hattest mir ja oben diese Tipps gegeben:

Zitat:

Entsorge also erst mal die doppelten und schaue dann, ob auch irgendwo zwei verschiedene Elemente einen echten Zwischenkörper erzeugen.

Zitat:

Meinst du mit dem Erweiterungsgrad gerade
$\begin{eqnarray*} | \mathbb{Q}[i]: \mathbb{Q}|= 2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} | \mathbb{Q}[i, \sqrt[4]{2}]: \mathbb{Q}|= 8 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} | \mathbb{Q}: \mathbb{Q}|= 1 \end{eqnarray*}$

das müssten die Erweiterungsgrade der Zwischenkörper sein, die ich bis jetzt aufgestellt habe, da sie alle verschieden sind, müssten das also auch verschiedene Zwischenkörper sein.
Ist es der richtige Weg, das jetzt für alle möglichen Basiselemente nachzuprüfen, um zu sehen, welche den gleichen Erweiterungsgrad haben? Und die Anzahl an verschiedenen Erweiterungsgraden, die ich am Ende erhalte, gibt mir die Anzahl der Zwischenkörper an und auch gleich, von welchem Körper sie erzeugt werden?

Ich probier mal weiter.

$\begin{eqnarray*} | \mathbb{Q[\sqrt[4]{2}]}: \mathbb{Q}|= 2 \end{eqnarray*}$ Die Basis davon wäre
$\begin{eqnarray*} B = \{1, \sqrt[4]{2}, \sqrt[4]{2}^2, \sqrt[4]{2}^3 \} \end{eqnarray*}$ Und damit ist der Erweiterungsgrad gleich 4/1= 4.

Damit erhalte ich 4 Zwischenkörper:

Erweiterungsgrad 1:
$\begin{eqnarray*} | \mathbb{Q} : \mathbb{Q}|= 1 \end{eqnarray*}$

Erweiterungsgrad 2:
$\begin{eqnarray*} | \mathbb{Q}[i]: \mathbb{Q}|= 2 \end{eqnarray*}$

Erweiterungsgrad 4:
$\begin{eqnarray*} |\mathbb{Q}[\sqrt[4]{2}]: \mathbb{Q}|= 4 \end{eqnarray*}$ sowie
$\begin{eqnarray*} | \mathbb{Q}[\sqrt[4]{2}^2]: \mathbb{Q}|= 4 \end{eqnarray*}$ sowie
$\begin{eqnarray*} | \mathbb{Q}[\sqrt[4]{2}^3]: \mathbb{Q}|= 4 \end{eqnarray*}$

Erweiterungsgrad 8:
$\begin{eqnarray*} | \mathbb{Q}[i, \sqrt[4]{2}]: \mathbb{Q}|= 8 \end{eqnarray*}$

Ich bin mir aber bei den Basiselementen die aus einem Produkt bestehen unsicher... Ich nehme an, sie gehören zum Erweiterungsgrad 4, bin mir da aber nicht so sicher...

Habe ich das soweit richtig umgesetzt?

Und sind die Zwischenkörper dann vielleicht gar nicht eindeutig? Also habe ich als Ergebnis 4 Zwischenkörper die mit Erweiterungsgrad 1,2,4 und 8 die bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt sind, oder habe ich nachher viel mehr, also alle die ich oben aufgeschrieben habe und damit z.B. verschiedene Zwischenkörper mit Erweiterungsgrad 4?

13.07.2010, 10:38

Reksilat

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Puh, ganz schön viel. Da fällt es schwer, auf jeden Punkt einzugehen. Aber das meiste ist ja auch richtig, was Du oben schreibst.

Zum Erweiterungsgrad:
Dafür ist das Minimalpolynom von großer Bedeutung. $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}(\sqrt[7]{2}) \end{eqnarray*}$ hat den Erweiterungsgrad 7, da das Minimalpolynom von $\begin{eqnarray*} \sqrt[7]{2} \end{eqnarray*}$ gerade $\begin{eqnarray*} x^7-2 \end{eqnarray*}$ ist und den Grad 7 hat.
Auf diese Weise musst Du dann auch von Deinen Körpererweiterungen den Erweiterungsgrad bestimmen.

Zwischenkörper:
Grad 1: $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ - das ist richtig.
Grad 8: $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ - auch das stimmt.
Grad 2: $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}(i) \end{eqnarray*}$ - richtig
Grad 4: $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}(\sqrt[4]{2})=\mathbb{Q}(\sqrt[4]{2}^3) \end{eqnarray*}$ - korrekt
(immer Grad als Erweiterungskörper über $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ )

Beim Erweiterungsgrad von $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}(\sqrt[4]{2}^2)=\mathbb{Q}(\sqrt{2}) \end{eqnarray*}$ liegst Du leider daneben. Denk da noch mal nach.
Für $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}(\sqrt{2}i) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}(\sqrt[4]{2}i) \end{eqnarray*}$ solltest Du nach dem Minimalpolynom suchen.

Zu guter Letzt fehlen dann noch Zwischenkörper der Form $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}(a,b)=\mathbb{Q}(a)(b) \end{eqnarray*}$ .
Für deren Erweiterungsgrad berechnet man erst den Grad $\begin{eqnarray*} |\mathbb{Q}(a):\mathbb{Q}| \end{eqnarray*}$ und anschließend $\begin{eqnarray*} |\mathbb{Q}(a)(b):\mathbb{Q}(a)| \end{eqnarray*}$ . Der Gesamtgrad ist dann das Produkt der beiden. Das hört sich vielleicht kompliziert an, ist es aber eigentlich nicht. Für $\begin{eqnarray*} |\mathbb{Q}(a)(b):\mathbb{Q}(a)| \end{eqnarray*}$ benötigt man dann das Minimalpolynom von $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ mit Koeffizienten aus dem Körper $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}(a) \end{eqnarray*}$ , wobei das $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ dann meist keine Rolle spielt und somit häufig (aber nicht immer) $\begin{eqnarray*} |\mathbb{Q}(a)(b):\mathbb{Q}(a)|=|\mathbb{Q}(b):\mathbb{Q}| \end{eqnarray*}$ ist.

Bei solchen Erweiterungen kann man sich schnell überlegen, dass zum Beispiel nicht $\begin{eqnarray*} |\mathbb{Q}(a):\mathbb{Q}|=4 \end{eqnarray*}$ sein kann, denn da der Gesamtgrad ja größer werden muss, müsste somit $\begin{eqnarray*} |\mathbb{Q}(a)(b):\mathbb{Q}|=8 \end{eqnarray*}$ gelten und wir hätten somit schon den ganzen Körper $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ gefunden. Für $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ kommen also nur wenige Elemente der Basis infrage.

Zitat:

Und sind die Zwischenkörper dann vielleicht gar nicht eindeutig? Also habe ich als Ergebnis 4 Zwischenkörper die mit Erweiterungsgrad 1,2,4 und 8 die bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt sind, oder habe ich nachher viel mehr, also alle die ich oben aufgeschrieben habe und damit z.B. verschiedene Zwischenkörper mit Erweiterungsgrad 4?

Die Zwischenkörper lassen sich eindeutig bestimmen. Das hat auch nichts mit Isomorphie zu tun, man kann einfach schauen, ob zwei Zwischenkörper als Mengen gleich sind oder nicht. Wo hast Du denn Zweifel? Die Körper $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}(\sqrt[4]{2}) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}(\sqrt[4]{2}^3) \end{eqnarray*}$ sind nicht nur isomorph, sondern als Mengen exakt gleich.

Gruß,
Reksilat.

PS: Sorry, hab jetzt runde statt der eckigen Klammern verwendet. Ist aber kein Unterschied. Augenzwinkern

18.07.2010, 20:06

Duude

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ja, ich weiß. Das wird manchmal etwas viel, wenn ich anfange was zu schreiben und versuche meine Gedankengänge zu erklären. Ich versuch in Zukunft das ganze kurz und prägnant zu halten.

Wir haben diese Aufgabe mittlerweile in der Übung besprochen. Da sind wir allerdings anders herangegangen über die Galois-Theorie. Das ist wohl der leichtere Weg, wenn man es erst mal verstanden hat. Den haben wir aber auch jetzt erst in der Vorlesung behandelt.

Zitat:

Die Körper $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}(\sqrt[4]{2}) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}(\sqrt[4]{2}^3) \end{eqnarray*}$ sind nicht nur isomorph, sondern als Mengen exakt gleich.

Stimmt, das habe ich jetzt auch nachgerechnet.

Zitat:

Beim Erweiterungsgrad von $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}(\sqrt[4]{2}^2)=\mathbb{Q}(\sqrt{2}) \end{eqnarray*}$ liegst Du leider daneben. Denk da noch mal nach.

Hier ist der Erweiterungsgrad nicht 4, sondern 2.

Die Zwischenkörper der Form $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}(a,b)=\mathbb{Q}(a)(b) \end{eqnarray*}$ berechne ich dann nach meinem Urlaub. Das reichts mir gerade nicht mehr von der Zeit. Ich melde mich dann nochmals, falls ich dazu noch Fragen habe oder einfach zur Kontrolle.

Auf jeden Fall jetzt schon mal vielen Dank an alle Helfer für die vielen Tipps und guten Erklärungen smile

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