Beschränkte Funktion?

10.07.2010, 01:21

sego

so ich nochmal smile

Bin bei folgendem Aufgabentyp hängen geblieben: Ist folgende Funktion beschränkt?

f: [0,10] $\begin{eqnarray*} \to \mathbb R \frac{x^{8}-5x^{4}+3x+1}{x-1} \end{eqnarray*}$

Die Frage ist: Wie gehe ich solche Aufgaben überhaupt grundsätzlich an? Meine Vermutung wäre jetzt, dass der Wertebereich genau dort nicht definiert ist, wo auch der Def-Bereich ne Lücke hat (ergo x=1). Aber erstmal grundsätzlich, was macht man bei diesem Aufgabentyp? Limes? Extrema (hab ich online gelesen)? Und wie kriege ich ganz konkret raus wo die y-Werte respektive der Wertebereich Lücken hat ?
Bei den einfachen Aufgaben dieses Typs reicht meistens limes aus. Man guckt dann halt was bei + und - unendlich passiert und schaut ob die Funktion nach oben oder unten beschränkt ist. Bei der Aufgabe ist das aber mumpitz, weil 1: ein recht enger Definitionsbereich vorgegeben ist und so die Beschränktheit quasi vorgegeben ist und 2: diese fehlende Stelle bei x=1.
Lange Rede kurzer Sinn: Gibts da ein von mir immer gesuchtes Schema F ? Big Laugh

Eine zweite Aufgabe an der ich heute elendig gescheitert bin ist folgende:
Welche Summe besitzt:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{2x^{k+3}}{3^{k} } \end{eqnarray*}$

Die gehört zum Thema rekursive Folgen. Bei den Einfachen macht man einfach lim a+1 gegen unendlich ist a und löst nach a auf - fertig. Aber hier hab ich irgendwie kein Plan. Bei uns steht irgendwie was mit Aufteilung in zwei Summen und Indexverschiebung, aber irgendwie kapier ich das nicht. Auch online hab ich nix gefunden was mir weiterhilft.

Danke nochmals an alle, die mir dabei helfen. Ich hab leider etwas zu spät angefangen zu lernen. Ich hab so Sachen wie Statistik, Mikro, Makro alles schon hinter mir, ich hätte allerdings nicht gedacht, dass Mathe vom Aufwand her nochmal so viel mehr ist unglücklich

Anal. Geometrie ging sogar recht problemlos, aber bei dem Analysis Krempel ist irgendwie schluss mit lustig ...

10.07.2010, 02:34

sego

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zu später Nachtlernstunde werd ich mal schizo und beantworte meine Frage selber:

das geht mittels Asymptoten-Test. Man nimmt sich die Stelle an dem die Fkt nicht definiert ist (also hier x=1) und tastet sich mittels limes ran. Das sieht dann so aus:

$\begin{eqnarray*} \frac{(1+h)^{8}-5(1+h)^{4}+3(1+h)+1}{(1+h)-1} \end{eqnarray*}$

lässt man hier h gegen 0 gegen komm raus: 0/0 --> ergo: l´Hospital

$\begin{eqnarray*} \frac{8(1+h)^{7}-20(1+h)^{3}+3}{1} \end{eqnarray*}$

für lim h gegen 0 kommt nun genau das raus, was rauskommen muss - nämlich -9. Krassomat. Wäres es +/- unendlich, wäre es übrigens ne Asymptote, was man nicht alles lernt.
Naja die Grundprobleme bleiben, könnt ja noch was zu sagen wie man die Aufgaben anfangs am besten angeht, vor allem bei noch komplexeren Fkt ... und die Aufgabe mit der Summe, da hab ich noch immer kein Plan was man da machen soll.

Grüße

10.07.2010, 10:44

corvus

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Zitat:

Ist folgende Funktion beschränkt?
f: [0,10] $\begin{eqnarray*} \to \mathbb R \frac{x^{8}-5x^{4}+3x+1}{x-1} \end{eqnarray*}$

du hast richtig herausgefunden, dass f bei x=1 eine hebbare
Unstetigkeitsstelle (Lücke) hat .. und dass du diese Lücke
schliessen könntest durch Hinzunahme von f(1)=-9

ausser für x=1
stimmt f im Intervall [0 ; 10] überein mit der ganzrationalen Funktion

$\begin{eqnarray*} g(x) = x^7+x^6+x^5+x^4-4x^3-4x^2-4x-1 \end{eqnarray*}$

und ist damit in [0 ; 10] beschränkt :
grösster Wert bei x=10 ; kleinster Wert bei x= 1,0259... ....

ok?

10.07.2010, 10:58

corvus

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Zitat:

Welche Summe besitzt:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{2x^{k+3}}{3^{k} } \end{eqnarray*}$

bist du sicher, dass du da alles richtig notiert hast?
schau sicherheitshalber nochmal nach..

und:
kann ja auch noch sein, dass du uns nicht sagen willst, was du so über das x weisst?

na ja, vielleicht solltest du hier echt nur was über die Summe einer
geometrischen Reihe herausfinden .. falls diese denn konvergiert .. smile

$\begin{eqnarray*} 2x^3\cdot \sum\limits_{k=0}^\infty \left( \frac{x}{3} \right)^k <br /> \end{eqnarray*}$

10.07.2010, 12:08

sego

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ne, da steht nur berechnen sie die Summe für bla ... sonst nix. Ne Lösung habe ich nicht, nur grundsätzliches Zeugs aus der Vorlesung ...
Es kann durchaus sein, dass man das mit Konvergenz lösen muss, aber da hab ich kein Plan von. Irgendwie dröselt man die Summe in zwei Teile auf und subtrahiert diese etc. Ich hab mir da auch was zu gegoogelt, kann das aber leider nicht anwenden. Ich kapiers halt nicht.

Nochmal zu den Beschränktheitsgeschichten ...
Das scheinen echt immer so Frickelsachen zu sein verwirrt

z.B. sowas hier:
$\begin{eqnarray*} \frac{(x)^{3}+2x-3}{x+1} \end{eqnarray*}$
Das ist erstmal sehr ähnlich wie die erste, nur dass in dem Fall ne Asymptote rauskommt wenn man die o.g. Methode verwendet. Ich hab dann noch x gegen + - unendlich gehen lassen und gezeigt, dass die jeweils an den Rändern auch nicht beschränkt ist im Wertebereich. Reicht das dann als Beweis?
Oder sowas hier:
$\begin{eqnarray*} \frac{3*cos(x)}{(x)^{4}+2} \end{eqnarray*}$
Ich hab den Zähler vor den Ausdruck gezogen und dann stattdessen 3*cos(x) * 1/ bla ... bekommen. Dann ist klar dass 1: der Wertebereich stark beschränkt sein muss wegen cos als Faktor. Es ist auch klar dass der max mögliche Wert bei Null sein muss, da beide Faktoren in Null maximal werden. cos(x) hinterher zwar wieder (ist ja trigonometrisch Big Laugh

), aber der Rest nicht, der geht sehr schnell gegen 0 ...
Die Frage ist jetzt wie man an das Minimum/die Minima kommt. Es ist klar, dass das irgendwo dort sein muss, wo cos(x) das erste mal ins negative rutscht (im Bogenmaß bei etwa x>1,58 bzw x<-1,58 ...) Aber wie genau man den Wert rausfinden soll, keine Ahnung. Ich habs mit Extrema versucht, aber ich krieg die Ableitung irgendwie nicht gescheit nach x aufgelöst...
Es darf ja auch nicht nur ein Punkt rauskommen, sondern eine Punktfolge. Kein Plan.

10.07.2010, 13:33

corvus

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Zitat:

Nochmal zu den Beschränktheitsgeschichten ...

$\begin{eqnarray*} f(x)= \frac{(x)^{3}+2x-3}{x+1} \end{eqnarray*}$

da hast du richtig erkannt: bei x=-1
hat f einen Pol mit Vorzeichenwechsel ..

und damit ist f auf ganz R nicht beschränkt..
anders sieht es zB aus im Intervall (-oo ; -1) :
da ist f nach unten beschränkt..

Zitat:

Oder sowas hier:

$\begin{eqnarray*} g(x)= \frac{3*cos(x)}{(x)^{4}+2} \end{eqnarray*}$

Es ist auch klar dass der max mögliche Wert bei Null sein muss

ja, K= 3/2 ist kleinste obere Schranke

und wenn du nur wissen willst, ob das Ding auch nach unten beschränkt ist:
ist doch kein Problem, beliebige untere Schranken k anzugeben ? zB k= -4 oder -9 usw..

wenn du allerdings die grösste untere Schranke haben willst, dann wirds
nicht mehr so einfach ..
die wird nämlich aus Symmetriegründen zweimal angenommen, dort
wo g das erste Minimum nach dem Max(0; 1,5) erreicht , also bei x=+- 2,9497...

aber das war ja nicht die Frage und ist, wie du schon entdeckt hast,
auch gar nicht mehr so elementar :
"aber ich krieg die Ableitung irgendwie nicht gescheit nach x aufgelöst..." smile

(da müsstest du zB mit numerischen Methoden oder so anrücken..)

also nochmal :
wenn du nur "beschränkt" sein willst , brauchst du bei g keine Ableitungen

und noch kurz dazu:

Zitat:

berechnen sie die Summe für bla
aber da hab ich kein Plan von.

hast du denn nicht kapiert?:
du sollst dir Gedanken machen zu der ganz simplen geometrischen Reihe

$\begin{eqnarray*} 2x^3\cdot \sum\limits_{k=0}^\infty \left( \frac{x}{3} \right)^k <br /> \end{eqnarray*}$
.

22.07.2010, 17:46

sego

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hallo nochmals,

hatte zuletzt ein Paar Klausuren, daher keine Zeit für Mathe, nun aber wieder ...
Ich habe tatsächlich nen Fehler gemacht, das x muss da weg.

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{2^{k+3}}{3^{k} } \end{eqnarray*}$

22.07.2010, 18:40

sego

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arghh, sorry Leute. Die Formel ist zwar richtig, aber gar nicht das Beispiel, was ich meinte. Bin da in der Zeile verrutscht hab ich gerade gesehen. Das ist in der Tat nur ne stinknormale geometrische Reihe ...

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{1}{k*(k+1)} \end{eqnarray*}$

das ist nun das Beispiel, bei dem man ne Indexverschiebung verwenden soll...
Zudem: verwenden sie das Ergebnis um daraus $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n^{2}} < 2 \end{eqnarray*}$ herzuleiten.

So, jetzt machts Sinn.

Und danke schonmal.

22.07.2010, 20:22

Kühlkiste

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$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n\frac 1{k(k+1)}=\sum_{k=1}^n\left(\frac 1k-\frac 1{k+1}\right)=\ldots \end{eqnarray*}$

22.07.2010, 21:47

corvus

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Zitat:

Original von sego

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{1}{k*(k+1)} \end{eqnarray*}$

Und danke schonmal.

......... genau smile

und dann: ermittle (zB wie oben vorgeschlagen) die Teilsummenfolge :

$\begin{eqnarray*} s_{n} = \sum_{k=1}^n\frac 1{k(k+1)} = ? \end{eqnarray*}$

und berechne deren Grenzwert

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } s_{n} = S \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von sego
Zudem: verwenden sie das Ergebnis um daraus
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n^{2}} < 2 \end{eqnarray*}$ herzuleiten.

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n^{2}} = 1 + \sum\limits_{n=2}^\infty \frac{1}{n^{2}} < 1 + S \end{eqnarray*}$

............................................... Wink

nebenbei:
falls es dich interessiert: es ist

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n^{2}} =\frac{\pi ^2}{6} \end{eqnarray*}$

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