Anwendung der Kettenregel

04.11.2006, 16:53	SimonSv	Auf diesen Beitrag antworten »
Anwendung der Kettenregel Nach dem Eintauchen eines Steins in einen ruhig daliegenden See breiten sich die Wellen in konzentrischen Kreisen aus. Bei einem Radius von 4m wächst der Radius mit einer Rate von 1,2m/s. Mit welcher Rate vergrößert sich der Flächeninhalt zu diesem Zeitpunkt? Lösung: Der Radius und damit der Flächeninhalt hängt von der Zeit t (in s) ab: A(t)= $\begin{eqnarray} \pi \end{eqnarray}$ [r(t)]² Nach der Kettenregel gilt: A'(t)=2 $\begin{eqnarray} \pi \end{eqnarray}$ r(t)r'(t) Also folgt: A'(t)=2* $\begin{eqnarray} \pi \end{eqnarray}$ 41,2 = 30,2 (in m²/s) Der Flächeninhalt ändert sich zu dem betrachtetem Zeitpunkt mit einer Rate von rund 30,2 Quadratmeter pro Sekunde. Lösung 2: Der Radius beträgt nach der Zeit t 4m. Der Flächeninhalt im Moment beträgt also: A1=4²* $\begin{eqnarray} \pi \end{eqnarray}$ Im gleichen Moment ändert sich der Radius um 1,2m/s. Also muss die Änderung vom Flächeninhalt innerhalb einer Sekunde: A/t=(5,2²* $\begin{eqnarray} \pi \end{eqnarray}$ )-(4²* $\begin{eqnarray} \pi \end{eqnarray}$ )=34,7 Aus dem Langscheidt Mathebuch Kursstufe stammt Lösung 1. Was ist falsch? Und warum ist es das? Danke im Vorraus. Simon
04.11.2006, 17:36	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Du MUSST die Änderungsrate nach der Version 1 berechnen, denn nur dort hast du den Differentialquotienten ermittelt. Nach Version 2 wurde jedoch der Differenzenquotient berechnet und dies stellt nur die mittlere Änderungsrate (von der 4. auf die 5. Sekunde) dar. Wir sehen damit, dass nur der Differentialquotient die momentane Änderung zu einem beliebigen Zeitpunkt sicherstellt. mY+

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