Induktion durch Summenformel

04.11.2006, 17:04

chris85

Induktion durch Summenformel

Zeige durch Induktion die Summenformel
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n {k²}= [n(n+1)(2n+1)]/6 \end{eqnarray*}$

Mein Problem ist: Ich weiß gar nicht richtig was und wie ich das machen soll! Kann mir da jemand helfen?

04.11.2006, 17:15

fr1

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is relativ einfach wenn man mal versteht worums geht

du sollst quasi beweisen dass es für n=1 gilt
man nimmt dann an dass es für viele weite zahlen glt also auch für n
und nun zeigt man dass es auhc für n+1 gilt

und das geht durch induktion

04.11.2006, 17:33

fr1

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RE: Induktion durch Summenformel
also sollst zeigen, dass....

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n+1} {k²}= \frac{(n+1)((n+1)+1)(2(n+1)+1)}{6} \end{eqnarray*}$

Mein Problem ist: Ich weiß gar nicht richtig was und wie ich das machen soll! Kann mir da jemand helfen?[/quote]

04.11.2006, 17:36

fr1

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dafür nimmst du sie summe und teilst sie erstmal auf in

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n+1}~k^2 =\sum_{k=1}^n~k^2 + (n+1)^2 \end{eqnarray*}$

die reihe sähe ja normal so aus

$\begin{eqnarray*} 1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+..+n^2+(n+1)^2 \end{eqnarray*}$

edit(Abakus): Latex

04.11.2006, 20:32

Venus²

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RE: Induktion durch Summenformel
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n+1} {k²}= \sum_{k=1}^{n} {k²}+(n+1)^2 \end{eqnarray*}$

Jetzt noch die Teile mit den Summenzeichen ersetzen...

04.11.2006, 20:56

Gela

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wenn ich mich mal miteinklinken darf: das letzte versteh ich nicht verwirrt

- könnte mir das eventuell jemand nochmal erläutern ?! Hilfe

04.11.2006, 20:58

mercany

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Hallo,

mach es so wie hier für $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~k = \frac{n \cdot (n+1)}{2} \end{eqnarray*}$ durchgeführt.
Und schau dir auch mal diese Erklärung von klarsoweit an.

Gruß, mercany

04.11.2006, 21:13

Gela

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Vielen Vielen Dank Gott

Mir ist endlich ein Licht aufgegangen Idee!

04.11.2006, 21:48

fr1

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RE: Induktion durch Summenformel

Zitat:

Original von Anne-So 5
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n+1} {k²}= \sum_{k=1}^{n} {k²}+(n+1)^2 \end{eqnarray*}$

Jetzt noch die Teile mit den Summenzeichen ersetzen...

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n+1} {k²}= \frac{(n+1)((n+1)+1)(2(n+1)+1)}{6} \end{eqnarray*}$ +(n+1)^2[/latex]

05.11.2006, 16:55

chris85

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Also ich bin jetzt so weit gekommen:
...

$\begin{eqnarray*} (n+1) + \sum_{k=1}^n~{k²} = \frac {(n+1)(n+2)(2n+2)} {6} \end{eqnarray*}$
6(n+1)+n(n+1) (2n+1) = (n+1) (n+2) (2n+2)

...wenn ich jetzt allerdings für n eine Zahl einsetzte dann kommt ein falsches Ergebnis heraus! d.h. irgendwo ist ein fehler! ich kann ihn allerdings nicht finden! könnt ihr mir ihn zeigen?

05.11.2006, 18:12

klarsoweit

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RE: Induktion durch Summenformel
Also wir sind beim Induktoinsschluß und wollen das Induktionsziel
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n+1} {k^2}= \frac{(n+1)((n+1)+1)(2(n+1)+1)}{6} \end{eqnarray*}$
zeigen. Dazu solltest du den Zähler auf der rechten Seite richtig umformen. In der 3. Klammer kommt nämlich nicht 2n+2 raus.

05.11.2006, 18:25

chris85

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okay,hab gefunden was du in der 3. klammer gemeint hast, aber was nun? was ist noch falsch oder was muss ich jetzt tun?

$\begin{eqnarray*} (n+1) + \sum_{k=1}^n~{k²} = \frac {(n+1)(n+2)(2n+3)} {6} \end{eqnarray*}$
6(n+1)+n(n+1) (2n+1) = (n+1) (n+2) (2n+3)

05.11.2006, 20:01

chris85

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okay, hab den fehler gefunden!
hab nur bei (n+1)² das ² vergessen Augenzwinkern

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