Quadratische Funktion

11.07.2010, 09:48

Cheftheoretiker

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Quadratische Funktion

Hallo,

ich sitze gerade vor einem Problem und weis mir nicht so recht zu helfen.
Die Aufgabe lautet,

Von einer verschobenen Normalparabel sind zwei Punkte $\begin{eqnarray*} \quad P_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \quad P_2 \end{eqnarray*}$ bekannt. Stelle die Funktionsgleichung auf.

$\begin{eqnarray*} \quad P_1(1,5; 8,25); \quad P_2(-1;2) \end{eqnarray*}$

Nun, ich weis gerade nicht, wie ich die Scheitelpunktform von zwei Punkten bestimmen kann, kann mir jemand helfen? verwirrt

verwirrt

11.07.2010, 09:50

Iorek

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Die allgemeine Scheitelpunktsform lautet $\begin{eqnarray*} f(x)=a(x-d)^2+e \end{eqnarray*}$ , allerdings hast du hier eine verschobene Normalparabel gegeben, was für eine Information erhälst du daraus?

11.07.2010, 09:57

Cheftheoretiker

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Ja, ich könnte die einzelnen Punkte in die Scheitelpunktform einfügen.

$\begin{eqnarray*} \quad P_1=(x-1,5)^2+8,25 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \quad P_2=(x+1)^2+2 \end{eqnarray*}$

Oder? verwirrt

verwirrt

11.07.2010, 10:01

Iorek

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Die Idee ist richtig, aber die Durchführung ist falsch:

$\begin{eqnarray*} \underbrace{f(x)}_{=y}=(x-d)^2+e \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} P(\underbrace{1{,}5}_{=x};\underbrace{8{,}25}_{=y}) \end{eqnarray*}$ , was musst du also wo einsetzen?

11.07.2010, 10:06

Cheftheoretiker

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$\begin{eqnarray*} 8,25=(1,5-d)^2+e \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2=(-1+d)^2+e \end{eqnarray*}$

So? verwirrt

verwirrt

11.07.2010, 10:08

Iorek

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Wenn du den Vorzeichendreher in der zweiten Gleichung noch berichtigst, stimmt das so smile

smile

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11.07.2010, 10:13

Cheftheoretiker

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$\begin{eqnarray*} 8,25=(1,5-d)^2+e \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2=(-1-d)^2+e \end{eqnarray*}$

und jetzt? verwirrt

verwirrt

11.07.2010, 10:15

Iorek

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Jetzt kannst du ein Verfahren deine Wahl nehmen, um das entstandene Gleichungssystem zu lösen smile

smile

Dadurch kannst du d und e berechnen und anschließend die Funktionsgleichung angeben.

11.07.2010, 10:21

Cheftheoretiker

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Wie kann ich die Gleichungen denn gleichsetzen bzw. mit dem einsetzungsverfahren lösen, geht das überhaupt oder besser direkt das Addtiionsverfahren?

11.07.2010, 10:25

Iorek

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Das Einsetzungsverfahren würde sich hier anbieten, lös eine Gleichung nach e auf..., funktioniert genauso wie immer Augenzwinkern

Augenzwinkern

11.07.2010, 10:27

Cheftheoretiker

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Ok, ich probier's mal schonmal danke Gott

Gott

11.07.2010, 10:39

Cheftheoretiker

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$\begin{eqnarray*} 8-(1,5-d)^2=2-(-1-d)^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 8-(2,25-3d+d^2)=2-(1-2d+d^2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 8-2,25+3d-d^2=2-1+2d-d^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -4,75=d \end{eqnarray*}$

Laut Lösungen kann das schon nicht hinkommen.
In den Lösungen soll das Ergebnis

$\begin{eqnarray*} y=x^2+2x+3 \end{eqnarray*}$ sein

habe ich irgendwo einen Fehler gemacht? verwirrt

verwirrt

11.07.2010, 10:47

Iorek

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Der erste Fehler liegt bei $\begin{eqnarray*} (-1-d)^2 \end{eqnarray*}$ , du kannst hier nicht direkt die binomische Formel anwenden, da du in der Klammer nicht die richtigen Vorraussetzungen hast. Form dir das so um: $\begin{eqnarray*} (-1-d)^2=((-1)(1+d))^2=(-1)^2(1+d)^2 \end{eqnarray*}$ , dann kannst du die binomische Formel verwenden.

11.07.2010, 11:10

Cheftheoretiker

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Wieso kann man denn nciht einfach ((-1)^2-2*(-1)*d+d^2)
schreiben? verwirrt

verwirrt

11.07.2010, 11:21

Iorek

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Weil es nicht das gleiche ist. Multiplizier es mal aus: $\begin{eqnarray*} (-1-d)(-1-d) \end{eqnarray*}$ , das Problem ist hier, das beide Summanden negativ sind, darum kannst du nicht einfach die binomische Formel drauf schmeißen.

Ich muss jetzt eine Küche aufbauen, jeder der weitermachen mag, ist herzlich dazu eingeladen smile

smile

11.07.2010, 12:05

Gualtiero

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Da Iorek weg ist, kann ich kurz einspringen.

Zitat:

Original von hangman

$\begin{eqnarray*} 8-(1,5-d)^2=2-(-1-d)^2 \end{eqnarray*}$

Das kann nicht gutgehen, denn y von P1 ist ja 8,25 und nicht 8.

Und (-1 - d)² multiplizierst Du am besten Schritt für Schritt aus (wie Iorek schon gesagt hat): (-1 - d) · (-1 - d)

Du bekommst immer nur "Minus mal Minus", daher wird alles positiv.

11.07.2010, 12:10

Cheftheoretiker

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Ups, ihr habt natürlich recht, habe es völlig übersehen.

11.07.2010, 12:22

Cheftheoretiker

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$\begin{eqnarray*} 8,25-2,25+3d-d^2=2-(1+2d+d^2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 6+3d-d^2=2-1-2d-d^2 \end{eqnarray*}$

Ist das so richtig?

11.07.2010, 12:39

Gualtiero

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Ja, schon mal richtig. Freude

Freude

Das Weitere ich ja Kinderspiel. Nach d auflösen und dieses in die Ausgangsgleichungen einsetzen.

Kann die Lösung im Buch bestätigen.

11.07.2010, 13:01

Cheftheoretiker

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Ja, danke

Freude

d müsste dann ja

$\begin{eqnarray*} d=-1 \end{eqnarray*}$

sein?

Edit: Ach mist, die Hitze macht mir zu schaffen...

11.07.2010, 13:10

Gualtiero

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Nö.
Rechne nochmal und pass auf die Vorzeichen auf.

Links bleiben 5d. Und rechts?

Edit: d = -1 ist richtig. Freude

Freude

11.07.2010, 13:37

Cheftheoretiker

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8,25=(1,5-1)^2+e

So?

11.07.2010, 13:48

Gualtiero

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(Sorry, hab schnell was gegessen.)

Nochmal, pass auf die Vorzeichen auf.

d = -1

Wieviel ist dann: (1,5 - d) ?

11.07.2010, 13:51

Cheftheoretiker

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$\begin{eqnarray*} 8,25=(1,5+1)^2+e \end{eqnarray*}$

So müsste es dann stimmen smile

smile

11.07.2010, 13:58

Gualtiero

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Ja, ist richtig.
Damit bekommst Du e einmal, und zur Sicherheit ein zweites Mal mit der zweiten Gleichung.

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