beschreibung von folgen (werte berechnen)

11.07.2010, 13:16

marilou

beschreibung von folgen (werte berechnen)

hallo,

ich habe eine frage und zwar verstehe ich bei dieser aufgabe was nicht:

man soll die ersetn 5 Werte von folgenden Folgen ausrechnen

a_1 = 2;
a_2=2;
a_n+1=3a_n - 2a_n+1

wie gehe ich da jetzt vor? ich hab doch gar nix zum berechnen eigentlich? da steht doch nur beim ersten zb: a_1 =2

rechnet man das einfach so:

wenn a_1 =2 gibt ist a_2 = 2+a_1 also 2+2 ?

kann vll jemand helfen? smile

lg marilou

11.07.2010, 13:26

Cel

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Das ist falsch. Was $\begin{eqnarray*} a_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a_2 \end{eqnarray*}$ steht doch dort schon? Eben beide 2. Jetzt wollen wir $\begin{eqnarray*} a_3 \end{eqnarray*}$ bilden, dazu setzen wir in der rekursiven Formel n = 2 ein, dann steht da:

$\begin{eqnarray*} a_{2+1} = a_3 = 3 \cdot a_{2} - 2 \cdot a_{3} \end{eqnarray*}$

Du möchtest $\begin{eqnarray*} a_3 \end{eqnarray*}$ haben. Was machst du? Umstellen.

Aber guck noch mal, ob die Vorschrift so stimmt. Das erscheint mir ein wenig komisch. Sollte dort nicht vielleicht

$\begin{eqnarray*} a_{n+1} = 3 \cdot a_{n} - 2 \cdot a_{n-1} \end{eqnarray*}$ stehen?

11.07.2010, 13:53

marilou

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oh, ja du has recht, es muss natürlich n-1 heißen also so wie du geschrieben hast.

achsoo, also die aufgabe besteht nur darin das a_3 zu berechnen.

ich dachte wir müssen jede folge nehmen und dafür die ersten 5 werte ausrechnen..

also auch für a_1 =2

oh je nicht mal das hab ich richtig verstanden.

ok also so wie du es geschrieben hast versteh ich das nicht so ganz was das umstellen betrifft und das mit dem rekursiv vesteh ich leider auch nicht so wirklich unglücklich

rekursiv bedeutet ja das man die folge "umgekehrt" darstellt oder?

a_2+1 = a_3 versteh ich noch

aber das 3*a_2 - 2*a_3 nicht

n ist doch 2 wenn n+1 =a_3 ist.

dann ist a_n also 2 die setzt du ja zuerst ein für n

aber dann n-1 müsste doch dann 1 geben oder?
wieso hast du da 3 genommen?

11.07.2010, 14:01

Cel

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Das, was ich zuerst gemacht habe, bezog sich auf die falsche Vorschrift.

Jede Folge nehmen? Ich seh nur eine ...

Also nochmal: a_1 und a_2 hast du gegeben, beides gleich zwei. Jetzt willst du a_3, a_4 und a_5 ausrechnen.

$\begin{eqnarray*} a_{n+1} = 3 \cdot a_{n} - 2 \cdot a_{n-1} \end{eqnarray*}$

Das ist die Formel, die wir nutzen. Wenn wir jetzt n = 2 setzen, steht da

$\begin{eqnarray*} a_{3} = 3 \cdot a_{2} - 2 \cdot a_{1} \end{eqnarray*}$

Das kannst du wunderbar ausrechnen, schließlich weisst du, dass a_2 = a_1 = 2.

11.07.2010, 15:23

marilou

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hmm ok

aber jetzt mal ne ganz blöde frage. wer sagt eigentlich das n =2 ist

eigentlich weiß ich ja nur das a1 =2 ist und das a2= 2 ist

und bei a3 soll ich dann a_n + 1 machen...

also ist n einfach a1...aber auch a2?

ok und eingesetzt hab ich ja dann für a3

3*a_2 - 2*a_1

ist das dann das ergebnis für a3 oder muss man da noch was weiter rechnen?

kann ich dann weiter rechnen:

a_4 = a_3 +1 =3*a_3 - 2*a_2 ?

11.07.2010, 15:32

Cel

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Zitat:

Original von marilou
aber jetzt mal ne ganz blöde frage. wer sagt eigentlich das n =2 ist

eigentlich weiß ich ja nur das a1 =2 ist und das a2= 2 ist

und bei a3 soll ich dann a_n + 1 machen...

also ist n einfach a1...aber auch a2?

Das hat nichts miteinander zu tun und ist jetzt zufällig.

Zitat:

Original von marilou
ok und eingesetzt hab ich ja dann für a3

3*a_2 - 2*a_1

ist das dann das ergebnis für a3 oder muss man da noch was weiter rechnen?

Du musst es ausrechnen! Du weisst doch, was a_2 und a_1 ist. Setze es ein!

11.07.2010, 15:40

marilou

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achso, also dann hab ich:

a3 = 3*a_2 - 2*a_1
a3 = 6 - 4 = 2

?

aber dann weiß ich auch nicht wie es weitergeht...

jetzt hab ich ja a3 und anschließend gehts weiter mit a4 aber wie?

mit a3 + 1 = ?

11.07.2010, 15:45

Cel

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So, du weisst jetzt:

$\begin{eqnarray*} a_1 = a_2 = 2, \; a_3 = 2 \end{eqnarray*}$

Wieder in die Formel packen:

$\begin{eqnarray*} a_4 = 3 \cdot a_3 - 2 \cdot a_2 \end{eqnarray*}$

Wenn du das ausrechnest, sollte dir was auffallen ...

11.07.2010, 16:01

marilou

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das da immer 2 rauskommt?

aber eins versteh ich auch nicht

es heißt ja a_n+1 =3*a_n - 2*a_n-1

und wir hatten ja vorhin
a_3 = 3*a_2 - 2*a_2 -1
a_3 = 3*a_2- 2_a1
a_3 = 6-4=2

aber ist das dann wirklich so gemeint das 2*a_2-1 ; 2*a_1 gibt es könte ja auch bedeuten2*a_2 -1 also 4-1 dann wäre da ja 3 rauskommen und das ergebnis dann6-3=3

und im nachfolgenden fall für a_4 würde man ja dann auch anders weiterrechnen

11.07.2010, 16:05

marilou

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also was mich grad so verwirrt ist rechnet man in dem teil

2*a_2-1

so das man die 1 von dem a_n abzieht also das a_2 a_1 wird oder a_5 zu a_4 wird oder zieht man die 1 vom ausgrechneten 2*a_n teil ab?

11.07.2010, 18:34

Cel

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Nein, nein. Es ist ein Unterschied, ob man

$\begin{eqnarray*} a_{n-1} \end{eqnarray*}$ schreibt oder $\begin{eqnarray*} a_n -1 \end{eqnarray*}$

Das eine ist das (n-1)-te Glied einer Folge und das andere das n-te, von dem man noch 1 abzieht.

Kommt halt drauf an, was du oben gemeint hast. Wenn mein Vorschlag richtig war - davon gehe ich aus, dann beschreibt diese Rekursion die konstante Folge $\begin{eqnarray*} a_n = 2 \; \forall \; n \end{eqnarray*}$ , was du auch leicht mit vollständiger Induktion beweisen kannst - wenn du das schon hattest.

12.07.2010, 19:32

marilou

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ja so wie du es als erstes geschrieben hast steht es da...der zweite fall so mit der 1 extra...das hatte mich nur etwas verwirrt, weil ich zuerst dachte so könnte es ja auch gemeint sein.aber jetzt mit deiner erklärung hab ich es verstanden.
und auch allgemein die aufgabe, wobei mir das mit den folgen schon ziemlich schwer noch fällt muss ich sagen. das ist einfach sowas ganz anders als zb kurvendiskussion oder was weiß ich Big Laugh

dankeschön smile

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