Richtungsfeld einer DGL zeichnen?

11.07.2010, 13:12

bandchef

Richtungsfeld einer DGL zeichnen?

HI Leute!

Ich soll von folgender DGL das Richtungsfeld zeichnen: $\begin{eqnarray*} y'=\frac{x}{y} \end{eqnarray*}$ . Ich weiß leider nicht wie ich rangehen soll. Wir haben diese Aufgabe auch schon an der FH behandelt aber ich weiß jetzt beim wiederholen daheim, nicht wie wir darauf gekommen sind. Die Zeichnung haben wir in der FH ohne große Berechnung hingemalt. Also denke ich, es kann nichts aufwendinges sein und das es auch nur eine "qualitative Zeichnung" ist, die aussagt wie die DGL verlaufen könnte...

Könnt ihr mir helfen?

11.07.2010, 13:27

Cel

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RE: Richtungsfeld einer DGL zeichnen?

Zitat:

Original von bandchef
Also denke ich, es kann nichts aufwendinges sein und das es auch nur eine "qualitative Zeichnung" ist, die aussagt wie die DGL verlaufen könnte...

Fast richtig. Es soll dir sagen, wie die Lösungskurven ungefähr aussehen. Das ist tatsächlich nicht schwierig. Hier ist ein einfaches Beispiel.

Konkret musst du dies machen: Nimm dir einen Punkt $\begin{eqnarray*} (x,y) \in \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ und zeichne dort den Pfeil $\begin{eqnarray*} (1, \frac{x}{y}) \end{eqnarray*}$ ein. Schließlich gibt ja deine rechte Seite $\begin{eqnarray*} f(x,y) = \frac{x}{y} \end{eqnarray*}$ die Steigung deiner Lösungskurven an.

11.07.2010, 13:38

bandchef

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Ich hab noch eine Aufgabe, die mir zu schaffen macht. Nämlich soll ich für die DGL $\begin{eqnarray*} y'=\frac{x}{y} \end{eqnarray*}$ die allgemeine Lösung bestimmen. In der FH haben wir folgendes aufgeschrieben: $\begin{eqnarray*} y'=\frac{x}{y} \Rightarrow ydy=xdx \end{eqnarray*}$

Was passiert während dem Pfeil und wo ist mein y' auf einmal hin? (Wer hat nur diese Pfeile erfunden mit denen sich so viel abkürzen lässt?)

11.07.2010, 13:42

bandchef

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Wenn ich mir nun vorstelle, dass man y' durch mit $\begin{eqnarray*} \frac{dx}{dy} \end{eqnarray*}$ ersetzen kann, dann sieht das ganze ja so aus: $\begin{eqnarray*} \frac{dx}{dy}=\frac{x}{y} \end{eqnarray*}$ . Das kann man ja jetzt so Umformen, dass $\begin{eqnarray*} ydx=xdy \end{eqnarray*}$ rauskommt was aber laut Lösung falsch ist...

11.07.2010, 13:50

Cel

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Zitat:

Original von bandchef
Wenn ich mir nun vorstelle, dass man y' durch mit $\begin{eqnarray*} \frac{dx}{dy} \end{eqnarray*}$

Das ist aber genau falsch herum: $\begin{eqnarray*} y' = \frac{dy}{dx} \end{eqnarray*}$

Hast du das jetzt mit dem Richtungsfeld verstanden? Die allgemeine Lösung zu finden und das Richtungsfeld zu zeichnen, hat nur mittelbar miteinander zu tun.

Lösung ist Lösung, Richtungsfeld approximiert diese nur.

11.07.2010, 14:06

Huggy

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Zitat:

Original von bandchef
In der FH haben wir folgendes aufgeschrieben: $\begin{eqnarray*} y'=\frac{x}{y} \Rightarrow ydy=xdx \end{eqnarray*}$

Diese formale Rechnen mit Differentialen findet seine Berechtigung in der Substitutionsregel für Integrale. Aus

$\begin{eqnarray*} y'=\frac{x}{y} \end{eqnarray*}$

folgt

$\begin{eqnarray*} yy'=x \end{eqnarray*}$ .

Jetzt wird auf beiden Seiten über x integriert:

$\begin{eqnarray*} \int yy' ~dx = \int x ~dx \end{eqnarray*}$

Auf der linken Seite ergibt nun die Substitutionsregel

$\begin{eqnarray*} \int yy' ~dx =\int y \frac{dy}{dx} ~dx = \int y~dy \end{eqnarray*}$

11.07.2010, 14:21

bandchef

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Danke! Das habe ich jetzt auch bemerkt... Das Richtungsfeld hab ich verstanden denke ich...

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